# Spis tematów
Oto uporządkowana lista tematów, które pojawiają się w przesłanych przez Ciebie notatkach. Zostały one pogrupowane w logiczne kategorie:

**1. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa i zdarzenia losowe**

- Przestrzeń zdarzeń elementarnych (Ω) i pojedyncze zdarzenia elementarne (ω)
    
- Zbiory przeliczalne
    
- Działania na zbiorach i zdarzeniach (dopełnienie, suma, przekrój)
    
- Zdarzenie niemożliwe i zdarzenia wykluczające się
    
- Przestrzenie mierzalne i zbiory borelowskie
    

**2. Definicje i miary prawdopodobieństwa**

- Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace'a) dla przestrzeni skończonych
    
- Miara Lebesgue'a (odnosząca się do długości, pola i objętości)
    
- Prawdopodobieństwo geometryczne i pojęcie miary bezatomowej
    

**3. Zmienna losowa i statystyka opisowa (charakterystyki zmiennej)**

- Definicja zmiennej losowej jako funkcji
    
- Dystrybuanta i jej własności (ciągłość, granice w nieskończoności)
    
- Miary rozproszenia: Wariancja, odchylenie standardowe (σ) i współczynnik zmienności
    
- Miary położenia: Kwantyle, mediana, kwartyle, centyle (oraz ich praktyczne zastosowanie, np. do mierzenia długości dziecka)
    
- Miary asymetrii rozkładu (np. wydłużony ogon, na przykładzie rozkładu płac)
    
- Wartości skrajne (konieczność ich odrzucania przy pomiarach)
    
- Dominanta (moda)
    

**4. Rozkłady prawdopodobieństwa**

- **Rozkłady dyskretne (skokowe):**
    
    - Rozkład zero-jedynkowy (0-1)
        
    - Rozkład dwumianowy (wzmianka o trójkącie Pascala)
        
    - Rozkład geometryczny (ciąg geometryczny z parametrami _p_ i _q_)
        
    - Rozkład Poissona
        
- **Zmienne i rozkłady typu ciągłego:**
    
    - Związek dystrybuanty z całką (pole pod wykresem)
        
    - Rozkład wykładniczy
        
    - Rozkład normalny (funkcja Gaussa)
        

**5. Wektory losowe i zagadnienia zaawansowane**

- Niezależność zmiennych losowych
    
- Wektory losowe (w tym wektory typu skokowego) i ich dystrybuanty
    
- Charakterystyki wektora losowego
    
- Twierdzenia graniczne (jako temat zamykający)

# Zdarzenia losowe
## Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych?
zdarzenie – $\omega$ 
przestrzeń zdarzeń – $\Omega$

## Co to jest zbiór przeliczalny 
Zbiór, który da się ponumerować
Dopełnienie zbioru jest też jego elementem.

## Co to jest zdarzenie elementarne?
Dowolne $A$ należące do $Z$ to zdarzenie losowe.

Dopełnienie i suma jest też zdarzeniem losowym.

## Zdarzenie niemożliwe
Zbiór pusty

Zdarzenia których przekrój jest pusty wykluczają się.

# Przykłady przestrzeni mierzalnych
Zbiory borelowskie to rodzina wszystkich przedziałów ograniczonych otwartych (najmniejsza klasa zdarzeń losowych zawierających rodzinę $\epsilon$)

# Definicja prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo — probabilistyka

# Definicja Laplace'a
$\Omega$ — skończony, definicja Laplace'a

Jeżeli prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń elementarnych jest jednakowe to $P({\omega_n})  = \frac{1}{n}$ 

# Miara Lebesgue'a (lebega) m
Na prostej — długość
Na płaszczyźnie — pole
W przestrzeni — objętosć

Prawdopodobieństwo geometryczne.

Jeśli m jest miarą Lebesgue'a to można policzyć pole.

**Uwaga** miara bezatomowa, czyli dla pojedyńczych punktów = $0$

# Zmienna losowa
Funkcja, która zdarzeniom przypisuje liczbę!
Przekształca zdarzenia na zdarzenia.
(cokolwiek to znaczy)

Jeśli zbiór jest przeliczalny to każda funkcja jest zmienną losową.

## Dystrybuanta 
Coś tam, funkcją jest, jestem głodny

Funkcja prawostronnie ciągła.

W -∞ jest zerem, a w +∞ jest 1.

# Wariancja
Wariancja X to liczba. (czemu te definicje są takie nieludzkie)

Odchylanie standardowe to pierwiastek z wariancji. Oznaczana małą literką sigma $\sigma$.

Współczynnik zmienności mierzy odchylenie standardowe względem morbiusa.

Kwantyl rzędu p to jakaś liczba pomiędzy granicą funkcji a jej wartością (?)

Jak podaje [wikipedia](https://pl.wikipedia.org/wiki/Kwantyl):
> Kwantyle to punkty odcięcia dzielące zakres rozkładu prawdopodobieństwa na ciągłe przedziały o równych prawdopodobieństwach lub dzielące obserwacje w próbie w ten sam sposób.

## Mediana
Wartość najbardziej po środku

## Kwartyle
To kwantyl rzędu $0.25, 0.5, 0.75$.
Kwantyl $0.5$ to mediana.

## Centyle setyle dupyle
itp można tak dzielić

### Długość dziecka
Kwantylami można zmierzyć długość dziecka, bo dzięki temu można zapobiec różnym problemom.

# Inne charakterystyki zmiennej losowej
Miary mierzące asymetrię rozkładu.

Mamy wydłużony ogon po lewej stronie.

## Rozkład płac
Większość ludzie zarabia średnią, a nieliczone jednostki zarabiają dużo.

Przy robieniu pomiaru należy odrzucić jednostki skrajne.

## Dominanta
Moda, czyli coś co ma duże prawdopodobieństwo.

# Rozkład

## 0-1
| $x_1$<br> | 0   | 1   |
| --------- | --- | --- |
| $p_1$     | q   | p   |
Nie wiem o co chodzi.


## Rozkład dwumianowy
Kombinacje tworzą trójkąt pascala chyba czy coś?

## Rozkład geometryczny
Mamy tylko parametr P, zmienna losowa X przyjmuje K.
Sumujemy ciąg geometryczny o ilorazie q.

## Rozkład poissona
Trujący chyba

### Zmienne typu ciągłego
Wartość dystrybuanty w punkcie x to jest całka, bo to pole pod wykresem.

## Rozkład wykladniczy
Funkcja gaussa.

# Wektory losowe i niezależność zmiennych losowych

Dystrybuanta wektora losowego

Wektor losowy typu skokowego

# Charakterystyki wektora losowego centralne, twierdzenia graniczne i elementy statystyki opisowej
Ostatni temat z prawdopodobieństwa.

Zmienne dwuwymiarowe.

Kowariancja jest symetryczna

Kowariancja to miara określające siłę oraz zależność dwóch zmiennych losowych.

Suma zmiennych to suma wariancji +- suma kowariancji

Jeżeli zmienne X i Y są niezależne to kowariancja jest 0. Tego twierdzenia nie można odwrócić.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona.

Macierz kowariancji (momentów)

Nie rozumiem co tu się dzieje.

Centralne twierdzenie graniczne — jeśli ciąg zmiennych losowych $Y_{n\space n \in N}$ jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej Y o rozkładzie $N(0,1)$

Twierdzenie Lindberga - Levy'ego i Moivre'a - Laplace'a

Elementy statystyki opisowej

# Szereg statystyczny
- Prosty – uporządkowany niemalejąco
- Punktowy – dla cech skokowych (na wykresie kropki)
- Przedziałowy – dla cech ciągłych (na wykresie takie prostokąciki)

# Statystyka i estymacja
## Definicje
- Cecha – zmienna losowa
- Badanie próbne – wysoce wiarygodne, ale estymowane na podstawie próbki, więc nieidealne
- Estymacja – policzenie próbki i uogólnienie wyników
- Weryfikacja hipotez

- Próba losowa prosta – mamy zmienną losową X. Ciąg zmiennych $X_1$, $X_2$, ..., nazywamy n-elementową statystyczną próba losowa prosta. Jeśli zmienne są niezależnie i rozkłada $X_i$ nie jest taki sam jak rozkład X.
- Statystyka – dowolna funkcja statystyczna

## Średnia z próby
Przy zmiennych losowych o rozkładzie normalnym, średnia artymetyczna z próby ma rozkład normalny.


## Estymacja punktowa
Mamy nieznane $\theta$ rozkładu zmiennej losowej X.
Estymator $\theta$ rozkładu zmiennej X nazywamy dowolną statystyką, której wartości przyjmujemy za ocenę wielkości parametru $\theta$

Używając lepszego estymatora otrzymujemy większą dokładność.

Sprawdzenie efektywności umożliwia nierówność Rao-Cramera.


# Istotna uwaga
Przy interpretacji przedziału ufności nie należy stosować następującego sformułowania: „parametr z prawdopodobieństwem należy do przedziału w okolicach (...)”, ponieważ parametr nie zalezy od wyników próby losowej. Jest stałą. Zmienny jest natomiast przedział ufności, którego końce zależą od próby  losowej.

# Parametryczne testy istotności
Weryfikacja hipotezy dotyczącej wariancji
- Obszar krytyczny K – Lewo prawo, oba
Jakieś dziwne znaczki.
--- 
Przykład:
$s = 1.5$
$n = 10$
$\alpha = 0.05$
Teza: odchylenie standardowe pomiarów różni się od $1.0$ na poziomie istotności $0.05$

1) Hipotezy
$$
\begin{align}
h_0 = \chi = 1 \\
h_1 = \chi ≠ 1
\end{align}
$$

2) stat testowa
$$
\chi^2 = \frac{ns^2}{\sigma^2} = \frac{10 \times 1.5^2}{1^2} = 22.5
$$
3) Kwantyle
$$
\begin{align}
\chi^2(\frac{\alpha}{2}, n - 1) = \chi&2(0.025, 9) = 2.700 \\
\chi^2(1 -\frac{\alpha}{2}, n - 1) = \chi&2(0.0975, 9) = 19.023
\end{align}
$$
4) Obszar krytyczny
$$
k = <0;2.700> u <10.023;∞>
$$
5) Wniosek
$\chi^2-2.5 e K$, więc na poziomie istotności 0.05 odrzucamy $H_0$ 


