# Obliczenia 
### Punkt pomiarowy nr 1
Dane wejściowe: $U = 3.3 \, V$, $I = 2.2 \, A$.
Temperatury odczytane: 1290, 1280, 1278, 1276, 1280 \[$^\circ C$].

**1. Średnia temperatura luminacyjna ($t_{1sr}$):**
$$t_{1sr} = \frac{1290+1280+1278+1276+1280}{5} = \frac{6404}{5} = 1280.8 \, ^\circ C$$
**2. Temperatura luminacyjna w Kelvinach ($T_1$):**
$$T_1 = 1280.8 + 273.15 = 1553.95 \, K$$
**3. Moc ($P$):**
$$P = 3.3 \cdot 2.2 = 7.26 \, W$$
**4. Temperatura rzeczywista ($T$):**
$$K = \frac{\lambda}{C_2} \ln(a)$$
$$K = \frac{650 \cdot 10^{-9}}{0.01438} \ln(0.45) \approx -3.61 \cdot 10^{-5}$$
Obliczenie $T$:
$$\frac{1}{T} = \frac{1}{1553.95} + (-3.61 \cdot 10^{-5}) = 0.0006435 - 0.0000361 = 0.0006074$$
$$T = \frac{1}{0.0006074} \approx \mathbf{1646.3 \, K}$$
**5. Logarytmy do wykresu:**
$$\ln(T) = \ln(1646.3) \approx 7.4063$$
$$\ln(P) = \ln(7.26) \approx 1.9824$$

---

### Punkt pomiarowy nr 2
Dane wejściowe: $U = 3.91 \, V$, $I = 2.4 \, A$.
Temperatury odczytane: 1370, 1370, 1360, 1370, 1375 \[$^\circ C$].

**1. Średnia temperatura luminacyjna ($t_{1sr}$):**
$$t_{1sr} = \frac{1370+1370+1360+1370+1375}{5} = 1369.0 \, ^\circ C$$
**2. Temperatura luminacyjna w Kelvinach ($T_1$):**
$$T_1 = 1369.0 + 273.15 = 1642.15 \, K$$
**3. Moc ($P$):**
$$P = 3.91 \cdot 2.4 = 9.38 \, W$$
**4. Temperatura rzeczywista ($T$):**
$$\frac{1}{T} = \frac{1}{1642.15} + (-3.61 \cdot 10^{-5}) = 0.0006089 - 0.0000361 = 0.0005728$$
$$T = \frac{1}{0.0005728} \approx \mathbf{1745.6 \, K}$$
**5. Logarytmy do wykresu:**
$$\ln(T) = \ln(1745.6) \approx 7.4649$$
$$\ln(P) = \ln(9.38) \approx 2.2390$$

---

### Punkt pomiarowy nr 3
Dane wejściowe: $U = 4.96 \, V$, $I = 2.6 \, A$.
Temperatury odczytane: 1400, 1401, 1398, 1400, 1398 \[$^\circ C$].

**1. Średnia temperatura luminacyjna ($t_{1sr}$):**
$$t_{1sr} = \frac{6997}{5} = 1399.4 \, ^\circ C$$
**2. Temperatura luminacyjna w Kelvinach ($T_1$):**
$$T_1 = 1399.4 + 273.15 = 1672.55 \, K$$
**3. Moc ($P$):**
$$P = 4.96 \cdot 2.6 = 12.90 \, W$$
**4. Temperatura rzeczywista ($T$):**
$$\frac{1}{T} = \frac{1}{1672.55} + (-3.61 \cdot 10^{-5}) = 0.0005979 - 0.0000361 = 0.0005618$$
$$T = \frac{1}{0.0005618} \approx \mathbf{1780.0 \, K}$$
**5. Logarytmy do wykresu:**
$$\ln(T) = \ln(1780.0) \approx 7.4844$$
$$\ln(P) = \ln(12.90) \approx 2.5569$$

---

### Punkt pomiarowy nr 4
Dane wejściowe: $U = 5.24 \, V$, $I = 2.8 \, A$.
Temperatury odczytane: 1460, 1450, 1460, 1452, 1461 \[$^\circ C$].

**1. Średnia temperatura luminacyjna ($t_{1sr}$):**
$$t_{1sr} = \frac{7283}{5} = 1456.6 \, ^\circ C$$
**2. Temperatura luminacyjna w Kelvinach ($T_1$):**
$$T_1 = 1456.6 + 273.15 = 1729.75 \, K$$
**3. Moc ($P$):**
$$P = 5.24 \cdot 2.8 = 14.67 \, W$$
**4. Temperatura rzeczywista ($T$):**
$$\frac{1}{T} = \frac{1}{1729.75} + (-3.61 \cdot 10^{-5}) = 0.0005781 - 0.0000361 = 0.0005420$$
$$T = \frac{1}{0.0005420} \approx \mathbf{1844.9 \, K}$$
**5. Logarytmy do wykresu:**
$$\ln(T) = \ln(1844.9) \approx 7.5202$$
$$\ln(P) = \ln(14.67) \approx 2.6859$$

---

### Punkt pomiarowy nr 5
Dane wejściowe: $U = 5.97 \, V$, $I = 3.0 \, A$.
Temperatury odczytane: 1483, 1490, 1491, 1490, 1491 \[$^\circ C$].

**1. Średnia temperatura luminacyjna ($t_{1sr}$):**
$$t_{1sr} = \frac{7445}{5} = 1489.0 \, ^\circ C$$
**2. Temperatura luminacyjna w Kelvinach ($T_1$):**
$$T_1 = 1489.0 + 273.15 = 1762.15 \, K$$
**3. Moc ($P$):**
$$P = 5.97 \cdot 3.0 = 17.91 \, W$$
**4. Temperatura rzeczywista ($T$):**
$$\frac{1}{T} = \frac{1}{1762.15} + (-3.61 \cdot 10^{-5}) = 0.0005675 - 0.0000361 = 0.0005314$$
$$T = \frac{1}{0.0005314} \approx \mathbf{1881.8 \, K}$$
**5. Logarytmy do wykresu:**
$$\ln(T) = \ln(1881.8) \approx 7.5400$$
$$\ln(P) = \ln(17.91) \approx 2.8854$$

---

## Szczegółowe obliczenia regresji liniowej
Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) dla równania $\ln(P) = n \cdot \ln(T) + C$.
Oznaczenia zmiennych: $y = \ln(P)$, $x = \ln(T)$, $N=5$.

**Tabela sum pośrednich:**

| Lp. | $x_i$ | $y_i$ | $x_i \cdot y_i$ | $x_i^2$ | $y_i^2$ |
| :-: | :---: | :---: | :-------------: | :-----: | :-----: |
| 1 | 7.4063 | 1.9824 | 14.6822 | 54.8533 | 3.9300 |
| 2 | 7.4649 | 2.2390 | 16.7139 | 55.7247 | 5.0131 |
| 3 | 7.4844 | 2.5569 | 19.1369 | 56.0162 | 6.5377 |
| 4 | 7.5202 | 2.6859 | 20.1985 | 56.5534 | 7.2141 |
| 5 | 7.5400 | 2.8854 | 21.7559 | 56.8516 | 8.3255 |
| **$\Sigma$** | **37.4158** | **12.3496** | **92.4874** | **279.9992** | **31.0204** |

### 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego $n$
$$n = \frac{N \sum(x_i y_i) - \sum x_i \sum y_i}{N \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$$

Podstawienie wartości z tabeli:
$$n = \frac{5 \cdot 92.4874 - 37.4158 \cdot 12.3496}{5 \cdot 279.9992 - (37.4158)^2}$$
$$n = \frac{462.4370 - 462.0702}{1399.9960 - 1399.9421} = \frac{0.3668}{0.0539}$$

Wynik:
$$n \approx \mathbf{6.86}$$

### 2. Obliczenie wyrazu wolnego $C$
$$C = \frac{\sum y_i - n \sum x_i}{N}$$

$$C = \frac{12.3496 - 6.86 \cdot 37.4158}{5} = \frac{-244.3228}{5}$$

Wynik:
$$C \approx \mathbf{-48.86}$$

---

## 5. Obliczenie niepewności pomiarowej współczynnika kierunkowego
Niepewność standardową współczynnika kierunkowego $u(n)$ obliczamy z pełnego wzoru analitycznego:

$$u(n) = \sqrt{\frac{N}{N-2} \cdot \frac{\sum y_i^2 - n\sum x_i y_i - C\sum y_i}{N\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}}$$

Podstawienie wartości z tabeli sum:
* Mianownik ułamka wewnętrznego (wyznacznik): $D = N\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 \approx 0.0539$
* Licznik ułamka wewnętrznego (suma kwadratów reszt): $S = \sum y_i^2 - n\sum x_i y_i - C\sum y_i$
    $S = 31.0204 - (6.86 \cdot 92.4874) - (-48.86 \cdot 12.3496)$
    $S \approx 0.0209$

Obliczenie końcowe:
$$u(n) = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{0.0209}{0.0539}} = \sqrt{1.6667 \cdot 0.3878} \approx \sqrt{0.6463}$$

Wynik:
$$u(n) \approx \mathbf{0.80}$$

**Wynik końcowy:**
Wartość wykładnika potęgowego temperatury wynosi (z niepewnością standardową):
$$n=6.86±0.80$$
**Równanie regresji**
$\ln(P)=6.86⋅ln(T)−48.86$

---

## 6. Współczynnik korelacji liniowej $r$

$$r = \frac{N \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{\sqrt{[N \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][N \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}}$$

Podstawienie obliczonych wcześniej liczników i mianowników:
* Licznik: $0.3668$
* Mianownik $x$: $0.0539$
* Mianownik $y$: $N \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2 = 5 \cdot 31.0204 - (12.3496)^2 = 155.1020 - 152.5126 = 2.5894$

$$r = \frac{0.3668}{\sqrt{0.0539 \cdot 2.5894}} = \frac{0.3668}{\sqrt{0.1396}} \approx \frac{0.3668}{0.3736}$$

Wynik:
$$r \approx \mathbf{0.98}$$

Wartość bliska jedności świadczy o bardzo dobrym dopasowaniu prostej do punktów pomiarowych.

---

## Analiza zgodności z teorią i wnioski
Celem ćwiczenia było sprawdzenie prawa Stefana-Boltzmanna, które przewiduje, że dla ciała doskonale czarnego moc promieniowania jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury ($P \sim T^4$), czyli teoretyczna wartość współczynnika wynosi $n_{teor} = 4$.

**Obliczenie błędu względnego:**
$$\delta = \frac{|n_{dosw} - n_{teor}|}{n_{teor}} \cdot 100\% = \frac{|6.86 - 4|}{4} \cdot 100\% = \mathbf{71.5\%}$$

**Wnioski:**
Wyznaczona doświadczalnie wartość wykładnika potęgowego $n = 6.86 \pm 0.80$ nie pokrywa się w granicach błędu z wartością teoretyczną $n=4$.
Różnica ta wynika z faktu, że:
1.  Włókno wolframowe nie jest ciałem doskonale czarnym – jego emisyjność zmienia się wraz z temperaturą i długością fali.
2.  Występują straty mocy na przewodnictwo cieplne (przez wsporniki i gaz w bańce), które zależą od temperatury liniowo ($T^1$), co w matematycznym dopasowaniu zawyża wykładnik potęgowy.
3.  Wysoka wartość współczynnika korelacji $r=0.98$ potwierdza jednak, że w badanym zakresie temperatur zależność ma charakter potęgowy, choć o innym wykładniku niż dla idealnego ciała czarnego.