Spis treści

- [Obliczanie granicy ciągów](#Obliczanie%20granicy%20ciągów)
- [Zbieżność szeregów](#Zbie%C5%BCno%C5%9B%C4%87%20szereg%C3%B3w)
- [Ciągłość funkcji](#Ci%C4%85g%C5%82o%C5%9B%C4%87%20funkcji)
- [Pochodna z definicji](#Pochodna%20z%20definicji)
- [Pochodna funkcji](#Pochodna%20funkcji)
- [Granica funkcji lewo-prawo stronna](#Granica%20funkcji%20lewo-prawo%20stronna)
- [Przebieg zmienności funkcji](#Przebieg%20zmienno%C5%9Bci%20funkcji)
# Obliczanie granicy ciągów
![](../../../media/Pasted%20image%2020251119193520.png)
Na kolokwium będą takie same typy ciągów, ale inne liczby oczywiście

1. Pierwiastek z funkcji +- coś:
	- Takie coś mnożymy przez "sprzężenie"(zamieniamy znak pomiędzy wyrażeniami)/ sprzężenie
	- Wtedy wychodzi wynik
	- $\lim_{n \to \infty} \sqrt{9n^2 + 2n -5} -3n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{9n^2 + 2n -5} -3n \times \frac{\sqrt{9n^2 + 2n -5} - 3n}{\sqrt{9n^2 + 2n -5} - 3n}$
	- $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + 2n - 5} - 3n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \sqrt{9n^2 + 2n - 5} - 3n \right)\left( \sqrt{9n^2 + 2n - 5} + 3n \right)}{\sqrt{9n^2 + 2n - 5} + 3n}.$
2.  Twierdzenie o trzech ciągach:
	- Bierzemy największy element pod pierwiastkiem
	- Porównujemy do ciągu mniejszego i większego, czyli w mniejszym dajemy tylko największy element, a w większym zamieniamy wszystko na największy element
	- Granica to powinien wyjść właśnie ten największy element
	- Tak mówi chatgpt, ale to podobno *NiE jESt iStniEjąCa zalEŻnoŚć*, więc trzeba liczyć z tego
3. Operowanie na potęgach:
	- Rozbijamy te potęgi
	- Wyciągamy potęgę przed nawias
	- Skracamy
# Zbieżność szeregów
[Szeregi](Szeregi.md)
![](../../../media/Pasted%20image%2020251119200743.png)
Jeden przykład na kryt. leibniza, drugie na d'alemberta/cauchiego.


# Ciągłość funkcji
![](../../../media/Pasted%20image%2020251119193335.png)
Dość proste zadanie (zwane również: łatwe punkty)
- Bierzemy równanie, gdzie funkcja nie przyjmuje wartości.
- Liczymy w tym miejscu granicę
- Te granicę przyrównujemy do drugiego gównania
- Mamy a
- włala

# Pochodna z definicji
Tego typu
![](../../../media/Pasted%20image%2020251119193425.png)
[pochodne matemaks](https://www.matemaks.pl/pochodne.html)
## Śmieszna definicja
![](../../../media/Pasted%20image%2020251118195420.png)
$h=(x_0+h)−x_0$
## Jak to liczyć?
Prosta sprawa, podstawiamy do wzoru. Liczymy granicę. Powinno wyjść...

# Pochodna funkcji
Tu się przeważnie liczy pochodne funkcji złożonych, więc ze wzorów się da ogarnąć.

# Granica funkcji lewo-prawo stronna
To musze poćwiczyć dla tych niektórych dziwnych funkcji…

# Przebieg zmienności funkcji
Duuuuże zadanie.
## Lista rzeczy do wyznaczenia
1. Dziedzinę.
2. Miejsca zerowe.
3. Punkt przecięcia z osią Oy.
4. Granice na krańcach dziedziny.
5. Asymptoty.
6. Przedziały monotoniczności.
7. Ekstrema lokalne.
### Dziedzina
Sprawdzamy dla jakiej liczby funkcja nie przyjmuje wartości; dla jakiej liczby z funkcji wychodzi nam wyraz nieoznaczony, taki jak np. dzielenie przez 0.