Liczba urojona to liczba taka, że `i^2 = -1`

# Moduł
Moduł to odległość. Wartość bezwzględna jest konkretnym przypadkiem modułu.
Wzór na moduł z liczby zespolonej:
![Pasted image 20251006151439](/media/Pasted%20image%2020251006151439.png)
Jest to zwyczajnie odległość od punktu 0 do konkretnej liczby zespolonej w układzie współrzędnych.
![Pasted image 20251006151526](/media/Pasted%20image%2020251006151526.png)
Ten dziwny znaczek pomiędzy |z| a osią a czytamy fi.
# Postać trygonometryczna
![Pasted image 20251006152238](/media/Pasted%20image%2020251006152238.png)
Tak wygląda postać trygonometryczna. Zawiera ona w sumie moduł z `z` oraz funkcje trygonometryczne kąta fi.

# Interpretacja geometryczna
![Pasted image 20251006151033](/media/Pasted%20image%2020251006151033.png)
Liczby urojone przedstawiamy na dwuwymiarowej osi liczbowej, gdzie jedna płaszczyzna to liczby rzeczywiste, a druga urojone. Przypomina to grę w statki, tylko jeden z wymiarów fizycznie nie istnieje, więc jak się nad tym głębiej zastanowić, to ani trochę nie przypomina to gry w statki.

![Pasted image 20251006151308](/media/Pasted%20image%2020251006151308.png)
Kąt pomiędzy osią a, a |z| to fi.
# Wzór de Moivre'a
 Liczby zespolone z,w∈C, z argumentami odpowiednio: α i β, Możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:
 
 ![Pasted image 20251006152512](/media/Pasted%20image%2020251006152512.png)

 Iloczyn tych liczb:
![Pasted image 20251006152559](/media/Pasted%20image%2020251006152559.png) 

To wskazuje na to, że po wymnożeniu dwóch liczb zespolonych otrzymujemy liczbę zespoloną, której:
- moduł jest iloczynem modułów liczb z oraz w
- argument jest sumą argumentów liczb z oraz w
![Pasted image 20251006152754](/media/Pasted%20image%2020251006152754.png)
Dzięki temu cudownemu wzorowi możemy podnosić liczby zespolone do dowolnych potęg!!!

Tzn, że jak mamy liczbę zespoloną w postaci `|z| (cos fi + i sin fi)^n`(czyli trygonometrycznej) to możemy to n wyjebać i pomnożyć razy to n fi w cos i sin.

# Pierwiastkowanie liczb zespolonych
[Ważne info](/https://www.matemaks.pl/pierwiastkowanie-liczb-zespolonych.html)
Generalnie gdy wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej, to zawsze otrzymujemy n rozwiązań. O tym jak obliczyć te rozwiązania mówi następujące twierdzenie:

![Pasted image 20251013195607](/media/Pasted%20image%2020251013195607.png)