zaczęto robić notatke na drugiego kolosa xddd

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/Drugie kolokwium.md

@@ -0,0 +1,81 @@
+# Szereg Maclaurina
+**Zadanie za 4 pkt, więc może nie jest to największy priorytet ale dla kujonów może być**
+
+Dajmy na to takie zadanie.
+
+**Obliczyć $\cos \frac{1}{8}$ z dokładnością do $0.00000000001$ posługując się rozwinięciem funkcji $f(x)$ w szeregu Maclaurina.**
+
+Słuchaj mordo, to bardzo proste zadanie! Otóż robimy coś takiego, że:
+- Bierzemy se funkcje podaną w zadaniu, tutaj $\cos x$
+- Liczymy dla niej kilka pochodnych, tyle, aż wartości zaczną się powtarzać. Rozumisz?! Czyli w naszym przypadku bierzesz tego cosinusa jebanego i go różniczkujesz jakby jutra miało nie być. Czyli 
+ $$
+\begin{aligned}
+f(x) =& \cos(x) \\
+f'(x) =& -\sin(x) \\
+f''(x) =& -\cos(x) \\
+f'''(x) =& \sin(x) \\
+f''''(x) =& \cos(x) \\
+\end{aligned}
+$$
+Jak widać na załączonym wyżej obrazku 4 pochodna to ponownie cos, więc dalej nie liczysz. Czaisz to kurwa???
+- Obliczamy wartości tych pochodnych w $0$. Dla szerego Maclaurina __zawsze__ w $0$. Czyli tutaj:
+ $$
+\begin{aligned}
+f(0) =& \cos(0) =& 1 \\
+f'(0) =& -\sin(0) =& 0 \\
+f''(0) =& -\cos(0) =& -1 \\
+f'''(0) =& \sin(0) =& 0 \\
+f''''(0) =& \cos(0) =& 1 \\
+\end{aligned}
+$$
+- Potem podstawiamy do wzoru na rozwinięcie szeregu:
+$$
+f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)
+$$
+Jakbyś się zastanawiał co to jest $R_n(x)$ to sie kurwa tyle nie zastanawiaj. Jak już koniecznie musisz to wiedzieć to wiedz, że to jest __jebana__ reszta szerego Macularina, którą tutaj __jebiesz__, bo nie jest nam do niczego potrzeba. Wyjebane w nią miej.
+
+Tam pod $f'(0)$ podstawiasz poprzednio wyliczone wartości
+- Jak już to masz to zajebiście, jesteśmy niemal w domu. Teraz wystarczy jeno uprościć.
+- Uprościłeś? To tera pa na to:
+$$
+\cos(\frac{1}{8}) \approx 1 - \frac{(\frac{1}{8})^2}{2} + \frac{(\frac{1}{8})^4}{24} \approx 0.992197667
+$$
+- Brawo, teraz skończyłeś. Jedyne co ci pozostało to zaokrąglić do podanego w polecenia miejsca po przecinku. Chyba kurwa umiesz zaokrąglać jak jesteś na studiach? Nie będę tego robił. Jak nie umiesz to spierdalaj
+# Obliczyć całki
+**Zadanie za fhuj dużo punktów, więc lepiej umieć**
+
+Tu jest kwestia zawiła, gdyż mamy różne metody, azaliż pozwolisz, mocium panie, iż wyłożę je teraz wszystkie z należytą staranności i dokładnością.
+
+## Całkowanie przez podstawienie
+Prosta piłka jak chuj. Jedyny szkopuł, który tutaj może przeszkadzać to taki, że trzeba umieć liczyć pochodne i dosyć dobrze je widzieć. Generalnie metoda jest taka, że:
+- Bierzemy jakąś pojebaną całkę typu
+$$
+\int \frac{\sqrt[4]{3 + \operatorname{ctg}x}}{\sin ^2x}dx
+$$
+Widzisz to i myślisz sobie *o kurwa co ja mam zrobić???*
+A to nie jest wcale takie trudne, bo metoda jest prosta. Otóż:
+- Bierzesz to co wygląda na pojebane i podstawiasz pod $t$. Potem liczysz z tego $t$ pochodną.
+W tym przypadku konkretnym wygląda to tak:
+$$
+\begin{aligned}
+t =& 3 + \operatorname{ctg}x \\
+dt =& -\frac{1}{\sin^2x}dx \\
+-dt =& \frac{1}{\sin^2x}dx
+\end{aligned}
+$$
+No i co nam to w zasadzie __kurwa__ dało? Żeby to wiedzieć, trzeba umieć liczyć pochodne, mieć oczy i *myśleć*! Jak się zastanowisz nad tym, to ta część w mianowniku $dt$, to to samo co mianownik naszej całki! 
+- Jeżeli teraz wykonamy podstawienie to:
+$$
+\int \sqrt[4]{t} \times \operatorname-{dt}
+$$
+Jak nie widzisz co się stało to zamieniliśmy ten mianownik na $dt$.
+
+- Teraz po prostu to liczymy ze wzoru:
+$$
+\int \sqrt[4]{t} \cdot -\operatorname{dt} = -\frac{4}{5}\sqrt[4]{t^5}
+$$
+- Nie można zapomnieć o podstawieniu!
+$$
+-\frac{4}{5}\sqrt[4]{(3 + \operatorname{ctg}x)^5} + C
+$$
+I to jest nasz wynik.