Merge branch 'master' of github.com:szymon-jozef/ZUT-notatki

uczelnia/2_semestr/matematyka_dyskretna/egzamin.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+# Logika
+- Prawo de'morgana – przy negacji alternatywy lub koniunkcji zamieniamy też ze sobą działania 
+- suma indeksowanej rodziny zbiorów – elementy które występują w co najmniej jednym
+- iloczyn indeksowanej rodziny zbiorów – elementy które wystęupją w każdym
+# Abstrakcja
+- Izomorfizm – bijekcja, która zachowuje funkcje i relacje.
+- Homomorfizm – odwzorowanie jednej algebry liniowej(np. pierścienia) w drugą przy zachowaniu odpowiednich działań
+- Automorfizm – izomorfizm na samym sobie, czyli odwzorowanie struktury na samą siebie przy zachowaniu działań itp.
+
+# Relacje
+- piwo z kolegami
+- zwrotność (każda ze sobą)
+- symetryczność (działa w dwie strony)
+- przechodniość (jeśli xRy i yRz to xRz)
+- relacja równoważności, gdy spełnia wszystko powyżej 
+- antysymetryczność (xRy i yRx wtedy i tylko wtedy gdy x = y)
+# Struktury
+- Grupa – struktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym[1]; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. Podobne struktury).
+- Iniekcja – każdy argument ma przypisaną tylko jedną wartość i żadne dwa argumenty nie dają tej samej wartości. Innymi słowy jest różnowartościowa.
+- Suriekcja – zbiór wartości pokrywa się z przeciwdziedziną (każdy element przeciwdziedziny jest użyty)
+- Bijekcja – iniekcja i suriekcja na raz. Liczba bijekcji to $n!$ gdzie n to ilość el. zbioru.
+
+- działanie wewnętrzne – operacjie nie wyrzucają nas z danego zbioru
+- rozdzielność $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ 
+- półgrupa – nie potrzebuje el. neutralnego i odwrotnego
+# Grafy
+- Graf – podstawowy obiekt rozważań teorii grafów, struktura matematyczna służąca do przedstawiania i badania relacji między obiektami. W uproszczeniu graf to zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków.
+
+- Graf planarny – graf który można narysować nie przecinając linii na kartce. 
+- Graf spójny – każda para wierzchołków jest połączona
+
+- Twierdzenie Kuratowskiego – graf jest planarny, jeśli nie zawiera podgrafu, który jest grafem rozszerzonym grafu $K_5$ lub $K_{3,3}$. Innymi słowy: graf jest planarny jeśli nie jest stworzony z pentagramu/3 kropek na góra-dół.
+- Macierz incydencji – pokazuje gdzie wierzchołki grafu mają krawędzi. Wiersz to wierzchołek, a kolumny to krawędzi. Jeśli jest $0$ to nie styka się, jeśli liczba $< 0$ to wchodzi do wierzchołka, a jeśli $> 0$ to z niego wychodzi.  
+
+# Teoria liczb
+- $ax + by = c$, przy takim zapisie szukamy $NWD(a, b)$ i sprawdzamy czy dzieli liczbę c. Uzywamy rozszerzonego algorytmu Euklidesa
+- Hinolskie twierdzenie o resztach służy do rozwiązywania układów równań.
+Ważne wzory:
+$$
+\begin{align}
+N &= n_i \cdot n_{i + 1} \cdot \ ...\  \cdot n_k \\
+N_i &= \frac{N}{n_i} \\
+N_i \cdot y_i &\equiv 1 \pmod{n_i} \\
+x &= \sum_{i = 1}^{k}({a_i \cdot N_i \cdot y_i}) \pmod{N}
+\end{align}
+$$
+
+# Euklides
+Mamy NWD(a,b), gdzie a > b
+1. Rozpisujemy a za pomocą b $a = b \cdot x + r$, gdzie x to wielokrotność a r reszta
+2. rozpisujemy b za pomocą r 
+3. powtórz, aż dojdziesz do momentu gdy $r = 0$
+
+Rozszerzenie polega na robieniu tego samego ale w drugą stronę

uczelnia/2_semestr/matematyka_stosowana/laby/cz2/laby.Rproj

@@ -0,0 +1,13 @@
+Version: 1.0
+
+RestoreWorkspace: Default
+SaveWorkspace: Default
+AlwaysSaveHistory: Default
+
+EnableCodeIndexing: Yes
+UseSpacesForTab: Yes
+NumSpacesForTab: 2
+Encoding: UTF-8
+
+RnwWeave: Sweave
+LaTeX: pdfLaTeX

uczelnia/2_semestr/matematyka_stosowana/laby/cz2/powtorzenie.R

@@ -0,0 +1,701 @@
+#### === LAB 7 Zarządzanie danymi i elementami statystyki opisowej==== ####
+# Ogólne manipulowanie zestawem danych
+
+## Wyświetlenie podsumowania danych
+### przed faktoryzacją
+summary(Ankieta) 
+Ankieta$Płeć = factor(Ankieta$Płeć) # <- ustawiamy płeć jako zmienną kategorialną
+### po faktoryzacji
+summary(Ankieta)
+
+Ankieta$Sysytem = factor(Ankieta$System)
+Ankieta$M.zamieszkania = factor(Ankieta$M.zamieszkania)
+Ankieta$Sz.średnia = factor(Ankieta$Sz.średnia)
+Ankieta$Rodzeństwo = factor(Ankieta$Rodzeństwo)
+
+
+## Dodanie kolumny
+Ankieta$Średnia = round(((Ankieta$Algebra * 5 + Ankieta$Fizyka * 5 + Ankieta$Programowanie1 * 5 + Ankieta$MSzS1 * 5 + Ankieta$Algorytmy1 * 6 + Ankieta$WdI * 4) / 30), 2); # Po prostu wpisujemy co chcemy
+
+## Skopiowanie kolumny z ocenami (subset)
+Ankieta$Średnia = round(((Ankieta$Algebra * 5 + Ankieta$Fizyka * 5 + Ankieta$Programowanie1 * 5 + Ankieta$MSzS1 * 5 + Ankieta$Algorytmy1 * 6 + Ankieta$WdI * 4) / 30), 2); # select pozwala wybrac konkretne kolumny poprzez wektor
+
+## Dodanie i likwidacja kolumny
+Ankieta$Waga.dag = Ankieta$Waga * 100 # <- dodaje
+Ankieta$Waga.dag = NULL # <- likwiduje
+
+# Wykres ramka-wąsy
+ggplot(Ankieta, aes(x=Ankieta$Płeć, y=Ankieta$Waga)) + geom_boxplot(fill='red', col='purple') # x – zmienna kategorialna, y – zmienna mierzalna 
+
+## funkcja
+zakres3sigm = function(x) {
+  data.frame(lewy.kres=mean(x) - 3 * sd(x), prawy.kres=mean(x) + 3 * sd(x))
+}
+
+## Podzbiory
+Ankieta.M = subset(Ankieta, Ankieta$Płeć == 'M')
+
+Ankieta$L.g.kody = cut(Ankieta$L.godzin, breaks = c(0, 4, 8, 24), labels = c("krótko", "średnio", "długo"), include.lowest = TRUE)
+table(Ankieta$L.g.kody)
+
+#### === LAB 8 Parametry opisowe === ####
+# zadanie 1
+
+p.opisowe = function(wektor) {
+  library(moments)
+  srednia = round(mean(wektor), 2)
+  mediana = round(median(wektor), 2)
+  kwartyl_dolny = round(quantile(wektor, 1/4), 2)
+  kwartyl_gorny = round(quantile(wektor, 3/4), 2)
+  minimum = round(min(wektor), 2)
+  maximum = round(max(wektor), 2)
+  odchylenie = round(sd(wektor), 2)
+  rozstep_empiryczny = round(max(wektor) - min(wektor), 2)
+  rozstep_kwartylowy = round(IQR(wektor), 2)
+  wspolczynnik_zmiennosci = round(sd(wektor)/mean(wektor) * 100, 2)
+  skosnosc = round(skewness(wektor), 2)
+  kurtoza = round(kurtosis(wektor), 2)
+  
+  rbind(srednia, mediana, kwartyl_dolny, kwartyl_gorny, minimum, maximum, odchylenie, rozstep_empiryczny, rozstep_kwartylowy, wspolczynnik_zmiennosci, skosnosc, kurtoza)
+}                                                                        
+
+
+
+# zadanie 2
+# współczynnik zmienności
+# |V| <= 10% – słaba zmienność
+# 10% < |V| <= 50% – umiarkowana zmienność
+# |V| > 50% – duża zmienność
+
+# skośność (współczynnik asymetrii)
+# |G| <= 0.5 – słaba
+# 0.5 < |G| < 1 – umiarkowana
+# |G| > 1 – duża silna asymetria
+
+# G < 0 – lewostronna
+# G > 0 – prawostronna
+# G = 0 – symetria (prawie się nie zdarza)
+
+# kurtoza (współczynnik skupienia/spłaczszczenia)
+# K = 3 – rozkład normalny
+# K < 3 – niższe skupienie niż w rozkładzie normalnym
+# K > 3 – wyższe skupienie niż w rozkładzie normalnym
+
+
+# a)
+p.opisowe(Ankieta$Wzrost)
+# kwartyl_dolny           174.00 – wzrost 25% mężczyzn nie przekroczył 174
+# odchylenie                7.16 – wzrost mężczyzn odchylał się od średniej wzrostu przeciętnie o około 7.16
+# wspolczynnik_zmiennosci   3.98 – udział odchylenia standardowego wzrostu w wartości średniej wynosi 3.98 co świadczy o tym, że mężczyźni są słabo zróżnicowani pod względem wzrostu
+# skosnosc                  0.20 – rozkład wzrostu mężczyzn charakteryzuje się słabą asymetrią prawostronną
+
+# b)
+p.opisowe(Ankieta$Średnia)
+# mediana                  3.80 – średnia 50% studentów w badanej grupie nie przekroczyla 3.80
+# kwartyl_gorny            4.24 – średnia 75% studentów w badanej grupie nie przekroczyla 4.24
+
+# c)
+p.opisowe(Ankieta$L.godzin)
+# srednia                  7.07 czas spędzany przy komputerze w badanej grupie skupiał się wokół wartości 7.07
+# kurtoza                  2.55 rozklad czasu spędzanego przy komputerze w badanej grupie charakteryzuje się niższym skupieniem wokół średniej wagi niż w rozkładzie normalnym.
+
+# zadanie 3
+
+przedzial.odchylenie = function(x, uf) {
+  # 1 - a = uf
+  # a = 1 - uf
+  a = 1 - uf
+  n = length(x)
+  ss_z_daszkiem = var(x)
+  # s^2 = (n - 1)/n * ss_z_daszkiem
+  ss = (n - 1)/n * ss_z_daszkiem
+  
+  dolna = sqrt((n * ss) / qchisq(1 - (a / 2), n - 1))
+  gorna = sqrt((n * ss) / qchisq(a / 2, n - 1))
+  round(cbind(dolna, gorna), 4)
+}
+
+przedzial.odchylenie(Ankieta.M$Wzrost, 0.95)
+
+# zadanie 4
+# a)
+ggplot(data.frame(x=c(-4, 4)), aes(x))+ylab('Gęstość rozkładu studenta')+ stat_function(fun=dt, args=1, col='red', size=1) + stat_function(fun=dt, args=2, col='pink', size=1)  + stat_function(fun=dt, args=10, col='green', size=1)  + stat_function(fun=dt, args=50, col='blue', size=1)
+
+# b)
+ggplot(data.frame(x=c(-1, 100)), aes(x))+ylab('Gęstość rozkładu chi kwadrat') + stat_function(fun=dchisq, args=5, col='red', size=1) + stat_function(fun=dchisq, args=10, col='blue', size=1) + stat_function(fun=dchisq, args=20, col='green', size=1) + stat_function(fun=dchisq, args=50, col='pink', size=1)
+
+
+#### === LAB 9 Estymacja i testowanie hipotez dla jednej populacji === ####
+# zadanie 1
+
+# a)
+
+# założenie: normalność rozkładu – test shapiro-wilka
+
+# hipoteza podstawowa h0 – rozkład wzrostu w populacji mężczyzn jest normalny
+# hipoteza h1 – nieprawda, że h0
+
+shapiro.test(Ankieta.M$Wzrost)
+# Statystyka testowa W = 0.9598, p-value = 0.04048
+# alpha = 0.01 # poziom istotności
+# wniosek alpha < p-value, więc na poziomie istotności 0.01 nie ma podstaw do odrzucenia h0, że rozkład wzrostu w populacji mężczyzn jest zgodny z rozkładem normalnym.
+
+# b)
+# przedzial ufności dla wartości średniej w populacji (mężczyzn)
+t.test(Ankieta.M$Wzrost, conf.level = 0.95)
+#  178.0049 181.6403
+
+# interpretacja: przedział liczbowy od 178.0049 do 181.6403 z prawdopodobieństwem 0.95 obejmuje nieznaną wartość średnią wzrostu w populacji mężczyzn studiujących na pierwszym roku WI ZUT w Szczecinie w tym roku akademickim (2025/2026)
+
+t.test(Ankieta.M$Wzrost, conf.level = 0.98)
+#  177.6509 181.9942
+
+przedzial.odchylenie(Ankieta.M$Wzrost, 0.97)
+# 5.9801 8.8895
+
+# interpretacja: przedzial o końcach 5.9801 i 8.8895 [cm] z ufnością 0.97 obejmuje rzeczywistą wartość odchylenia standardowego wzrostu w populacji mężczyzn studiujących na pierwszym roku WI ZUT w Szczecinie w tym roku akademickim.
+
+# d)
+# test dla wartości średniej w populacji 
+# hipoteza h0: m = 180
+# hipoteza h1: m > 180
+t.test(Ankieta.M$Wzrost, mu = 180, alternative = 'g')
+# statystyka testowa t = -0.19518, df = 61, p-value = 0.577
+# alpha = 0.01
+# alpha < p-value, więc
+# na poziomie istotności 0.01 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy h0. Nie można zatem potwierdzić hipotezy, że średni wzrost mężczyzn w badanej populacji jest większy niż 180 cm.
+
+
+table(Ankieta$Sz.średnia)
+# LO(RM) = 22
+
+# a)
+# przedział ufności dla odsetka (wskaźnika struktury, frakcji, procentu, proporcji) 
+prop.test(22, 72, conf.level = 0.98)
+#  0.1909 0.4489
+# te końce nie mają jednostek!
+
+# interpretacja: przedział o końcach 0.1909 i 0.4489 z ufnością 0.98 obejmuje rzeczywistą wartość odsetka osób, które ukończyły LO(RM) w badanej populacji.
+
+# b)
+# test dla wskaźnika struktury 
+# hipoteza h0: p = 45%
+# hipoteza h1: p < 45%
+prop.test(22, 72, p = 0.45, alternative = 'l')
+# statystyka testowa – X-squared = 5.5, df = 1, p-value = 0.009508
+# alpha = 0.05
+# alpha > p-value, więc
+# odrzucamy h0
+
+# Alpha jest większa niż p-value, więc na poziomie istotności 0.05 odrzucamy hipotezę h0 i przyjmujemy h1, zatem odsetek osób, które ukończyły LO(RM) w badanej populacji studentów jest istotnie mniejszy, niż 45%.
+
+
+# zadanie 3
+
+# a)
+# hipoteza h0: rozkład wagi w populacji kobiet jest normalny
+# hipotezea h1: rozkład wagi w populacji kobiet nie jest normalny
+
+shapiro.test(Ankieta.K$Waga)
+# W = 0.94975, p-value = 0.6656
+# alpha = 0.05
+# alpha < p-value, więc
+# na poziomie istotności 0.05  nie ma podstaw do odrzucenia h0, że rozkład wagi w populacji kobiet jest normalny
+
+# b)
+t.test(Ankieta.K$Waga, conf.level = 0.98)
+#  49.34915 63.85085
+
+# interpretacja: przedział o końcach 49.34915 i 63.85085 [kg] z ufnością 0.98 zawiera rzeczywistą wartość średniej wagi w populacji wszystkich kobiet studiujących na I roku WI 
+
+# zadanie 4
+# a)
+
+table(Ankieta$M.zamieszkania)
+# akademik = 23
+prop.test(23, 72, conf.level = 0.995)
+#  0.1842 0.4918
+
+# interpretacja: przedział o końcach 0.1842 i 0.4918 z ufnością 0.995 obejmuje rzeczywistą wartość odestka osób, które mieszkają w akademiku podczas studiowania  na pierwszym roku kierunku informatyka na WI ZUT w Szczecinie w tym roku akademickim
+
+# b)
+# hipoteza h0: p = 0.35
+# hipoteza h1: p != 0.35
+prop.test(23, 72, p = 0.35, alternative = 'two.sided')
+# X-squared = 0.17643, df = 1, p-value = 0.6745
+# alpha = 0.05
+# alpha < p-value, więc
+# odrzucamy h0
+
+# wniosek: Alpha jest mniejsze, niż p-value, więc nie ma podstaw do odrzucenia h0, że odsetek osób, które mieszkają w akademiku w populacji wszystkich studentów I roku na WI różnie się istotnie od 35%
+#### === LAB 10 === Testowanie hipotez dla dwóch populacji oraz test dla prób zależnych #### 
+# zadanie 1
+
+# Próby niezależne
+
+# a)
+
+# założenie 1: normalność rozkładów
+
+# h0 – rozkład średnich ocen w populacji studentek jest normalny
+# h1 – ~h0
+
+# h0' – rozkład średnich ocen w populacji studentów jest normalny
+# h1' – ~h0'
+
+by(Ankieta$Średnia, Ankieta$Płeć, shapiro.test)
+
+# dla kobiet: W = 0.97625, p-value = 0.942
+# dla mężczyzn: W = 0.97148, p-value = 0.1578
+# aplha = 0.01
+
+# w obu przypadka alpha < p-value
+# brak podstaw do odrzucenia h0 i h0'
+
+# b)
+
+# h0 – jednorodność wariancji sigma.k^2 = sigma.m^2
+# h1 – ~h0
+
+var.test(Ankieta$Średnia ~ Ankieta$Płeć)
+# F = 0.40623, num df = 9, denom df = 61, p-value = 0.1459
+# alpha = 0.01
+
+# Wniosek: brak podstaw do odrzucenia h0
+# będziemy stosować test bez poprawki welcha
+# wariancje jednorodne = bez poprawki welcha
+
+# c)
+
+# h0 – m.kobiet = m.mężczyzn
+# h1 – m.kobiet > m.mężczyzn
+
+
+t.test(Ankieta$Średnia ~ Ankieta$Płeć, alternative = 'g', var.equal = TRUE)
+# t = -0.49177, df = 70, p-value = 0.6878
+# alpha = 0.01
+
+# Wniosek: Na poziomie istotności 0.01 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy h0, zatem wyniki próby nie potwierdzają przypuszczenia, że średnie oceny studentek są wyższe niż studentów studiujących na I roku WI na ZUT w Szczecinie w tym roku akademickim.
+
+# Zadanie 2
+# alpha = 0.05
+
+# Test dla dwóch wskaźników struktury
+
+# grupy:
+# 1 – grupa mieszkających z rodziną
+# 2 – grupa mieszkających poza domem rodzinnym
+
+# wyróżniona cecha: absolewnci TI
+
+# Hipotezy:
+# h0 – p1 = p2
+# h1 – p1 < p2
+
+table(Ankieta$M.zamieszkania, Ankieta$Sz.średnia)
+prop.test(c(15, 20), c(32, 40), alternative = 'l')
+# X-squared = 0.00069498, df = 1, p-value = 0.4895
+# aplha = 0.05
+
+# Wniosek: na poziomie istotności 0.05 nie można odrzucić hipotezy h0. Zatem odsetki osób, które ukończyły TI nie różnią się istotnie dla mieszkających podczas studiowania z rodziną oraz dla mieszkających poza domem rodzinnym.
+
+# Zadanie 3
+
+# próby zależne
+
+# alpha = 0.01
+
+# założenie: normalność różnicy zmiennych
+# h0 – rozkład różnicy zmiennych jest normalny
+# h1 – ~h0
+
+x1 = c(225, 236, 312, 238, 241, 196, 205, 259, 218)
+x2 = c(216, 195, 245, 235, 221, 170, 180, 265, 179)
+
+shapiro.test(x1 - x2)
+# W = 0.96898, p-value = 0.8858
+
+# Wniosek: brak podstaw do odrzucenia h0
+
+
+# test studenta dla dwóch średnich – próby zależne
+# h0 – m1 - m2 = 0
+# h1 – m1 - m2 > 0
+t.test(x1, x2, paired = T, alternative = 'g')
+# t = 3.3633, df = 8, p-value = 0.004942
+
+# Wniosek: na poziomie isotności 0.01 odrzucamy h0 i przyjmujemy h1, zatem leczenie statynami istotnie wpływa na obniżenie poziomu cholesterolu.
+
+# Zadanie 4
+# normalność rozkładów -> jednorodność wariancji -> właściwy test
+
+# aplha = 0.01
+
+# założenie 1: normalność rozkładów
+# h0 – średni wzrost w populacji studentek jest normalny
+# h1 – ~h0
+
+# h0' – średni wzrost w populacji studentów jest normalny
+# h1 – ~h0'
+by(Ankieta$Wzrost, Ankieta$Płeć, shapiro.test)
+# dla kobiet: W = 0.95432, p-value = 0.7197
+# dla mężczyzn: W = 0.9598, p-value = 0.04048
+
+# brak podstaw do odrzucenia h0 i h0'
+
+# założenie 2: jednorodność wariancji
+# h0 – jednorodność wariancji k.sigma^2 = m.sigma^2
+# h1 – ~h0
+var.test(Ankieta$Wzrost ~ Ankieta$Płeć)
+# F = 1.2842, num df = 9, denom df = 61, p-value = 0.528
+# brak podstaw do odrzucenia h0
+# będziemy stosować test bez poprawki welcha
+
+# h0 – m.kobiet = m.mężczyzn
+# h1 – m.kobiet ≠ m.mężczyzn
+t.test(Ankieta$Wzrost ~ Ankieta$Płeć, alternative = 'two.sided', var.equal = T)
+# t = -5.2844, df = 70, p-value = 1.36e-06
+
+# Na poziomie istotności 0.01 odrzucamy h0 i przyjmujemy h1.
+
+# zadanie 8
+# alpha = 0.02
+
+# założenie 1: normalność rozkładu
+# h0 – rozkład średnich ocen w grupie posiadającej rodzeństwo jest normalny
+# h1 – ~h0
+
+# h0' – rozkład średnich ocen w grupie nieposiadającej rodzeństwa jest normalny
+# h1' – ~h0'
+
+by(Ankieta$Średnia, Ankieta$Rodzeństwo, shapiro.test)
+# nieposiadający rodzeństwa: W = 0.93477, p-value = 0.3929
+# posiadający rodzeństwo: W = 0.97486, p-value = 0.26
+
+# brak podstaw do odrzucenia h0 i h0'
+
+# założenie 2: jednorodność wariancji
+# h0 – jednorodność wariancji n.sigma^2 = t.sigma^2
+# h1 – ~h0
+var.test(Ankieta$Średnia ~ Ankieta$Rodzeństwo)
+# F = 0.80082, num df = 12, denom df = 58, p-value = 0.704
+
+# brak podstaw do odrzucenia h0
+# test bez poprawki welcha
+
+# h0 – m.z_rodzeństwem = m.bez_rodzeństwa
+# h1 – m.z_rodzeństwem ≠ m.bez_rodzeństwa
+t.test(Ankieta$Średnia ~ Ankieta$Rodzeństwo, alternative = 'two.sided', var.equal = T)
+# t = -0.61915, df = 70, p-value = 0.5378
+
+# wniosek: na poziomie istotności 0.02 brak podstaw do odrzucenia h0, że średnia ocen osób posiadających rodzeństwo nie różni istotnie od średniej osób nieposiadających rodzieństwa w badanej grupie.
+
+
+#### === LAB 11 === Testy dla populacji > 3####
+# zadanie 1
+
+# zmienna mierzalna
+plony = c(2.6, 2.4, 2, 1.8, 2.2, 1.5, 1.5, 1.4, 1.2, 1.5, 1.2, 1.5, 0.8, 1)
+# zmienna grupująca
+kombinacje = c(rep('1', 5), rep('2', 4), rep('3', 5))
+
+## Normalność rozkładów
+
+### (wariant skrócony)
+by(plony, kombinacje, shapiro.test)
+# kombinacja 1: W = 0.98676, p-value = 0.9672
+# kombinacja 2: W = 0.82743, p-value = 0.1612
+# kombinacja 3: W = 0.90345, p-value = 0.4292
+
+# Brak podstaw do odrzucenia hipotez zerowych
+
+## Jednorodność wariancji
+# h0: sigma^2 = (sigma.2)^2 = (sigma.3)^2
+# h1: ~h0
+bartlett.test(plony ~ kombinacje)
+# Bartlett's K-squared = 1.8396, df = 2, p-value= 0.3986
+
+# alpha < p-value – Brak podstaw do odrzucenia h0
+
+## Test anova
+# h0: m.1 = m.2 = m.3 (brak wpływu)
+# h1: ~h0 (istotny wpływ)
+
+anova(aov(plony ~ kombinacje))
+
+# Response: plony
+# Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
+# kombinacje  2 2.7571 1.37857  18.053 0.0003356 ***
+#  Residuals  11 0.8400 0.07636                      
+
+# F: 18.053 p-value: 0.0003356
+
+# Odrzucamy h0, przyjmujemy h1, nawóz ma istotny wpływ
+
+# Wniosek: na poziomie istotności 0.05 odrzucamy h0 i przyjmujemy h1, zatem nawożenie istotnie wpływa na plony rzepaku jarego.
+
+
+# Zadanie 2
+
+# Jedna próba
+
+## Test normalności rozkładu
+
+# wariant skrócony
+
+shapiro.test(Ankieta.M$Waga)
+# W = 0.94653, p-value = 0.009113
+
+# Odrzucamy h0
+
+# Test nieparametryczny Wilcoxona
+# h0: mediana = 70
+# h1: mediana > 70
+wilcox.test(Ankieta.M$Waga, mu = 70, alternative = 'g')
+# V = 1129.5, p-value = 0.008091
+
+# Wniosek: na poziomie istotności 0.05 odrzucamy h0 i przyjmujemy h1. Zatem mediana wagi populacji mężczyzn studiujących na I roku WI ZUT w Szczecinie jest istotnie większa od 70kg.
+
+
+# Zadanie 3
+
+# Dwie niezależne próby
+
+utargi = c(7.6, 12.0, 7.3, 11.3, 7.0, 10.8, 6.5, 8.1, 3.2, 8.7, 8.8, 11.7, 12.7, 18.5, 3.3, 6.7, 8.6, 6.9, 3.8, 3.7) # zmienna mierzalna
+miasta = c(rep('A', 13), rep('B', 7)) # zmienna grupująca
+
+## Normalność rozkładu
+# wariant skrócony
+by(utargi, miasta, shapiro.test)
+# Miasto A:  W = 0.94565, p-value = 0.5341
+# Brak podstaw do odrzucenia h0
+
+# Miasto B:  W = 0.76886, p-value = 0.01989
+# Odrzucamy h0
+
+# Wniosek: odrzucamy hipotezę, że rozkład miesięcznego utargu w mieście B jest zgodny z rozkładem normalnym.
+
+## Test nieparametryczny wilcoxona
+# h0: mediana.A = mediana.B
+# h1: mediana.A > mediana.B
+
+wilcox.test(utargi ~ miasta, alternative = 'g')
+# W = 65, p-value = 0.0674
+# brak podstaw do odrzucenia h0
+
+# Wniosek: Na poziomie istotności 0.05 nie ma podstaw by odrzucić hipotezę h0. Mediany utargów w mieście A i B nie różnią się istotnie.
+
+# Zadanie 4
+
+# Dwie zależne próby
+x1 = c(85, 122, 162, 206, 121, 250, 200, 156)
+x2 = c(87, 82, 158, 96, 131, 121, 194, 130)
+
+## Normalność rozkładu różnicy zmiennych
+# wariant skrócony
+shapiro.test(x1 - x2)
+# W = 0.81838, p-value = 0.04487
+
+# Wniosek: odrzucamy h0
+
+## Test nieparametryczny Wilcoxona: próby zależne
+# h0: mediana1 - mediana2 = 0
+# h1: mediana1 - mediana2 > 0
+
+wilcox.test(x1, x2, paired = T, alternative = 'g')
+# V = 31, p-value = 0.03906
+
+# Odrzucamy h0 i przyjmujemy h1
+
+# Wniosek: na poziomie istotności 0.05 odrzucamy h0 i przyjmujemy h1, zatem trening istotnie wpływa na skrócenie czasu potrzebnego myszom na wyjście z labiryntu.
+
+
+# Zadanie 5
+frewkencja = c(32.5, 40.8, 41.7, 41.2, 37.9, 38.3, 42, 39.8, 43.1, 42.6, 38.9, 43.1, 40.4, 41.8, 42, 39, 43.7, 40, 39.7, 43, 43.1, 43.9, 44.2, 45.2, 44.6, 42.5, 43.4, 44.8, 42.8, 43.1, 44.8, 45)
+miasta = c(rep('Wroclaw', 10), rep('Warszawa', 11), rep('Krakow', 11))
+# alhpa = 0.05
+# 3 próby
+
+## Jednorodność wariancji
+# h0: sigma^2 = (sigma.2)^2 = (sigma.3)^2
+# h1: ~h0
+bartlett.test(frewkencja ~ miasta)
+# Bartlett's K-squared = 11.774, df = 2, p-value = 0.002775
+# aplha > p-value
+# odrzucamy h0, przyjmujemy h1
+
+# h0: mediana.1 = mediana.2 = mediana.3
+# h1: ~h0
+kruskal.test(frewkencja ~ miasta)
+
+# Kruskal-Wallis chi-squared = 16.791, df = 2, p-value = 0.0002259
+# alpha > p-value
+# odrzucamy h0 i przyjmujemy h1
+
+# Wniosek: na poziomie istotności 0.05 odrzucamy h0 i przyjmujemy h1, zatem frekwencja w wyborach prezydenckich dla wszystkich tych miast nie jest taka sama.
+
+
+# Zadanie 8
+# 3 próby
+
+# alpha = 0.01
+
+## Test normalności
+# wariant skrócony
+
+by(Ankieta$L.godzin, Ankieta$M.zamieszkania, shapiro.test)
+# akademik: W = 0.96227, p-value = 0.5107
+# mieszkanie z rodziną: W = 0.98145, p-value = 0.8405
+# stancja lub inne: W = 0.95429, p-value = 0.5278
+
+# W każdej próbce brak podstaw do odrzucenia h0
+
+## Test jednorodności wariancji
+# h0: sigma.0^2 = (sigma.1)^2 = (sigma.2)^2
+# h1: ~h0
+
+bartlett.test(Ankieta$L.godzin ~ Ankieta$M.zamieszkania)
+# Bartlett's K-squared = 0.47545, df = 2, p-value = 0.7884
+
+# alpha < p-value
+# brak podstaw do odrzucenia h0, zatem wariancje są jednorodne
+
+
+# h0: m0 = m1 = m2 (brak wpływu)
+# h1: ~h0 (istotny wpływ)
+
+anova(aov(Ankieta$L.godzin ~ Ankieta$M.zamieszkania))
+# F - 0.5896 p-value 0.5573
+# alpha < 0.5573
+# brak podstaw do odrzucenia h0
+
+# Wniosek: Na poziomie istotności 0.01 nie ma podstaw do odrzucenia h0, zatem liczba godzin spędzonych przed komputerem w ciągu doby w popuplacji studentów pierwszego roku WI ZUT w Szczecinie w tym roku akademickim nie zależy od miejsca zamieszkania.
+
+#### === LAB 12 === Korelacja i regresja, test niezależności chi kwadrat ####
+# zadanie 1
+# a)
+
+# dwie zmienne mierzalne
+x = c(150, 300, 450, 600, 750, 900, 1200, 1500, 1800) # wysokość nad poziomem morza w metrach, zmienna niezależna
+y = c(27.2, 26.0, 24.2, 22.5, 21.7, 20.5, 19.0, 17.4, 16) # temperatura powietrza w stopniach celcjusza, zmienna zależna
+
+plot(x, y) # wykres punktów empirycznych
+
+lm(y ~ x) # oszacowanie liniowej funkcji regresji
+#   27.322424    -0.006719  
+# oszacowana funkcja regresji ma: y = -0.006719x  +  27.322424 
+
+# interpretacja współczynnika regresji: współczynnik regresji równy -0.007 oznacza, że ze wzrostem wysokości nad poziomem morza o jeden metr spada temperatura powietrza średnio o około 0.007 stopnia celcjusza.
+
+abline(lm(y ~ x)) # wykres oszacowanej funkcji regresji
+
+# b)
+# istotność współczynnika regresji
+# hipotezy:
+# h0: ϐ1 = 0
+# h1: ~h0
+
+summary(lm(y ~ x))
+#                         Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
+# wyraz wolny: (Intercept) 27.3224242  0.4507429   60.62 8.73e-11 ***
+# dla x:    x           -0.0067192  0.0004513  -14.89 1.48e-06 ***
+
+# t = -14.89
+# p-value = 1.48e-06
+# alpha = 0.03
+# odrzucamy h0
+# Wniosek: Współczynnik regresji między wysokością nad poziomem morza, a temperaturą jest istotnie różny od zera.
+
+# (na kolokwium tylko współczynnik regresji, interpretacja, test)
+
+# zadanie 2
+# dwie cechy mierzalne
+
+#a) oszacować współczynnik koleracji i jego interpretacje
+
+cor(Ankieta.K$Waga, Ankieta.K$Wzrost)
+# 0.6351466
+# Intepretacja współczynnika korelacji: Pomiędzy wagą i wzrostem studentek w badanej grupie istnieje umiarkowana korelacja dodatnia czyli im wyższa osoba tym średnio biorąc większa waga.
+
+# umiarkowana, w tym samym kierunku
+
+# r=0 brak korelacji
+# 0<|r|<0.2 bardzo słaba
+# 0.2<=|r|<0.4 słaba
+# 0.4<=|r|<0.7 umiarkowana
+# 0.7<=|r|<0.9 silna
+# 0.9<=|r|<1 bardzo silna
+# |r|=1 doskonała liniowa
+# r > 0 cechy zmieniają się w tym samym kierunku
+# r < 0 cechy zmieniają się w przeciwnych kierunkach
+
+# b) przedział ufności dla współczynnika korelacji dla populacji ϱ
+
+cor.test(Ankieta.K$Waga, Ankieta.K$Wzrost, conf.level = 0.95)
+# 0.009199008 0.903470512
+
+# Przedział liczbowy od (0.009; 0.903) z prawdopodobieństwem 0.95 obejmuje nieznany współczynnik korelacji między wagą i wzrostem populacji studentek I roku WI ZUT w Szczecinie.
+
+
+# c) test istotności współczynnika korelacji
+# hioptezy:
+# h0: ϱ = 0
+# h1: ϱ > 0
+
+
+cor.test(Ankieta.K$Waga, Ankieta.K$Wzrost, alternative = 'g')
+# t = 2.3258, df = 8, p-value = 0.02424
+# alpha = 0.05
+
+# Odrzucamy h0
+
+# Wniosek: Przy poziomie istotności 0.05 odrzucamy h0, zatem współczynnik korelacji jest istotnie większy od 0.
+
+
+# Zadanie 3
+# dwie cechy niemierzalne
+# alpha = 0.01
+
+# hipotezy:
+# h0: X, Y są niezależne | zawsze niezależność
+# h1: X, Y są zależne
+
+
+chisq.test(cbind(c(152, 52), c(8, 188)))
+# X-squared = 203.67, df = 1, p-value < 2.2e-16
+# odrzucamy h0 i przyjmujemy h1
+
+# Wniosek: na poziomie istotności 0.01, zatem można potwierdzić przypuszczenie, że wielkość cebulki wpływa na pojawienie się pędu kwiatostanowego.
+
+# zad 5 c i d | dwie zmienne mierzalne
+# wielkość produkcji niezależna
+# liczba braków zależna
+x = c(0.8, 1.2, 1.6, 1.8, 2.2, 1.6, 2.4, 2.0) # wielkość produkcji w tys. sztuk
+y = c(6, 10, 12, 15, 18, 15, 20, 16) # liczba braków
+
+# c)
+plot(x, y)
+regresja = lm(y ~ x)
+#     -0.3438       8.4375  
+# y = 8.4375x - 0.3438
+abline(regresja)
+
+# Interpretacja: współczynnik regresji równy 8.4375 oznacza, że wzrostem liczby wielkości produkcji o 1 tys. zwiększa się liczba braków o około 8 sztuk.
+
+
+# d)
+# istotność współczynnika regresji
+# hipotezy:
+# h0: beta1 = 0
+# h1: ~h0
+summary(regresja)
+# t = 12.425
+# p-value = 1.66e-05
+# alpha = 0.01
+
+# alpha > p-value, odrzucamy h0
+
+# Wniosek: Współczynnik korelacji między wielkością produkcji, a liczbą braków jest istotnie różny od 0. 
+
+
+