# Spis tematów **1. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa i zdarzenia losowe** - Przestrzeń zdarzeń elementarnych (Ω) i pojedyncze zdarzenia elementarne (ω) - Zbiory przeliczalne - Działania na zbiorach i zdarzeniach (dopełnienie, suma, przekrój) - Zdarzenie niemożliwe i zdarzenia wykluczające się - Przestrzenie mierzalne i zbiory borelowskie **2. Definicje i miary prawdopodobieństwa** - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace'a) dla przestrzeni skończonych - Miara Lebesgue'a (odnosząca się do długości, pola i objętości) - Prawdopodobieństwo geometryczne i pojęcie miary bezatomowej **3. Zmienna losowa i statystyka opisowa (charakterystyki zmiennej)** - Definicja zmiennej losowej jako funkcji - Dystrybuanta i jej własności (ciągłość, granice w nieskończoności) - Miary rozproszenia: Wariancja, odchylenie standardowe (σ) i współczynnik zmienności - Miary położenia: Kwantyle, mediana, kwartyle, centyle (oraz ich praktyczne zastosowanie, np. do mierzenia długości dziecka) - Miary asymetrii rozkładu (np. wydłużony ogon, na przykładzie rozkładu płac) - Wartości skrajne (konieczność ich odrzucania przy pomiarach) - Dominanta (moda) **4. Rozkłady prawdopodobieństwa** - **Rozkłady dyskretne (skokowe):** - Rozkład zero-jedynkowy (0-1) - Rozkład dwumianowy (wzmianka o trójkącie Pascala) - Rozkład geometryczny (ciąg geometryczny z parametrami _p_ i _q_) - Rozkład Poissona - **Zmienne i rozkłady typu ciągłego:** - Związek dystrybuanty z całką (pole pod wykresem) - Rozkład wykładniczy - Rozkład normalny (funkcja Gaussa) **5. Wektory losowe i zagadnienia zaawansowane** - Niezależność zmiennych losowych - Wektory losowe (w tym wektory typu skokowego) i ich dystrybuanty - Charakterystyki wektora losowego - Twierdzenia graniczne (jako temat zamykający) # Zdarzenia losowe ## Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych? zdarzenie – $\omega$ przestrzeń zdarzeń – $\Omega$ ## Co to jest zbiór przeliczalny Zbiór, który da się ponumerować Dopełnienie zbioru jest też jego elementem. ## Co to jest zdarzenie elementarne? Dowolne $A$ należące do $Z$ to zdarzenie losowe. Dopełnienie i suma jest też zdarzeniem losowym. ## Zdarzenie niemożliwe Zbiór pusty Zdarzenia których przekrój jest pusty wykluczają się. # Przykłady przestrzeni mierzalnych Zbiory borelowskie to rodzina wszystkich przedziałów ograniczonych otwartych (najmniejsza klasa zdarzeń losowych zawierających rodzinę $\epsilon$) # Definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo — probabilistyka # Definicja Laplace'a $\Omega$ — skończony, definicja Laplace'a Jeżeli prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń elementarnych jest jednakowe to $P({\omega_n}) = \frac{1}{n}$ # Miara Lebesgue'a (lebega) m Na prostej — długość Na płaszczyźnie — pole W przestrzeni — objętosć Prawdopodobieństwo geometryczne. Jeśli m jest miarą Lebesgue'a to można policzyć pole. **Uwaga** miara bezatomowa, czyli dla pojedyńczych punktów = $0$ # Zmienna losowa Funkcja, która zdarzeniom przypisuje liczbę! Przekształca zdarzenia na zdarzenia. (cokolwiek to znaczy) Jeśli zbiór jest przeliczalny to każda funkcja jest zmienną losową. ## Dystrybuanta Coś tam, funkcją jest, jestem głodny Funkcja prawostronnie ciągła. W -∞ jest zerem, a w +∞ jest 1. # Wariancja Wariancja X to liczba. (czemu te definicje są takie nieludzkie) Odchylanie standardowe to pierwiastek z wariancji. Oznaczana małą literką sigma $\sigma$. Współczynnik zmienności mierzy odchylenie standardowe względem morbiusa. Kwantyl rzędu p to jakaś liczba pomiędzy granicą funkcji a jej wartością (?) Jak podaje [wikipedia](https://pl.wikipedia.org/wiki/Kwantyl): > Kwantyle to punkty odcięcia dzielące zakres rozkładu prawdopodobieństwa na ciągłe przedziały o równych prawdopodobieństwach lub dzielące obserwacje w próbie w ten sam sposób. ## Mediana Wartość najbardziej po środku ## Kwartyle To kwantyl rzędu $0.25, 0.5, 0.75$. Kwantyl $0.5$ to mediana. ## Centyle setyle dupyle itp można tak dzielić ### Długość dziecka Kwantylami można zmierzyć długość dziecka, bo dzięki temu można zapobiec różnym problemom. # Inne charakterystyki zmiennej losowej Miary mierzące asymetrię rozkładu. Mamy wydłużony ogon po lewej stronie. ## Rozkład płac Większość ludzie zarabia średnią, a nieliczone jednostki zarabiają dużo. Przy robieniu pomiaru należy odrzucić jednostki skrajne. ## Dominanta Moda, czyli coś co ma duże prawdopodobieństwo. # Rozkład ## 0-1 | $x_1$
| 0 | 1 | | --------- | --- | --- | | $p_1$ | q | p | Nie wiem o co chodzi. ## Rozkład dwumianowy Kombinacje tworzą trójkąt pascala chyba czy coś? ## Rozkład geometryczny Mamy tylko parametr P, zmienna losowa X przyjmuje K. Sumujemy ciąg geometryczny o ilorazie q. ## Rozkład poissona Trujący chyba ### Zmienne typu ciągłego Wartość dystrybuanty w punkcie x to jest całka, bo to pole pod wykresem. ## Rozkład wykladniczy Funkcja gaussa. # Wektory losowe i niezależność zmiennych losowych Dystrybuanta wektora losowego Wektor losowy typu skokowego # Charakterystyki wektora losowego centralne, twierdzenia graniczne i elementy statystyki opisowej Ostatni temat z prawdopodobieństwa. Zmienne dwuwymiarowe. Kowariancja jest symetryczna Kowariancja to miara określające siłę oraz zależność dwóch zmiennych losowych. Suma zmiennych to suma wariancji +- suma kowariancji Jeżeli zmienne X i Y są niezależne to kowariancja jest 0. Tego twierdzenia nie można odwrócić. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona. Macierz kowariancji (momentów) Nie rozumiem co tu się dzieje. Centralne twierdzenie graniczne — jeśli ciąg zmiennych losowych $Y_{n\space n \in N}$ jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej Y o rozkładzie $N(0,1)$ Twierdzenie Lindberga - Levy'ego i Moivre'a - Laplace'a Elementy statystyki opisowej # Szereg statystyczny - Prosty – uporządkowany niemalejąco - Punktowy – dla cech skokowych (na wykresie kropki) - Przedziałowy – dla cech ciągłych (na wykresie takie prostokąciki) # Statystyka i estymacja ## Definicje - Cecha – zmienna losowa - Badanie próbne – wysoce wiarygodne, ale estymowane na podstawie próbki, więc nieidealne - Estymacja – policzenie próbki i uogólnienie wyników - Weryfikacja hipotez - Próba losowa prosta – mamy zmienną losową X. Ciąg zmiennych $X_1$, $X_2$, ..., nazywamy n-elementową statystyczną próba losowa prosta. Jeśli zmienne są niezależnie i rozkłada $X_i$ nie jest taki sam jak rozkład X. - Statystyka – dowolna funkcja statystyczna ## Średnia z próby Przy zmiennych losowych o rozkładzie normalnym, średnia artymetyczna z próby ma rozkład normalny. ## Estymacja punktowa Mamy nieznane $\theta$ rozkładu zmiennej losowej X. Estymator $\theta$ rozkładu zmiennej X nazywamy dowolną statystyką, której wartości przyjmujemy za ocenę wielkości parametru $\theta$ Używając lepszego estymatora otrzymujemy większą dokładność. Sprawdzenie efektywności umożliwia nierówność Rao-Cramera. # Istotna uwaga Przy interpretacji przedziału ufności nie należy stosować następującego sformułowania: „parametr z prawdopodobieństwem należy do przedziału w okolicach (...)”, ponieważ parametr nie zalezy od wyników próby losowej. Jest stałą. Zmienny jest natomiast przedział ufności, którego końce zależą od próby losowej. # Parametryczne testy istotności Weryfikacja hipotezy dotyczącej wariancji - Obszar krytyczny K – Lewo prawo, oba Jakieś dziwne znaczki. --- Przykład: $s = 1.5$ $n = 10$ $\alpha = 0.05$ Teza: odchylenie standardowe pomiarów różni się od $1.0$ na poziomie istotności $0.05$ 1) Hipotezy $$ \begin{align} h_0 = \chi = 1 \\ h_1 = \chi ≠ 1 \end{align} $$ 2) stat testowa $$ \chi^2 = \frac{ns^2}{\sigma^2} = \frac{10 \times 1.5^2}{1^2} = 22.5 $$ 3) Kwantyle $$ \begin{align} \chi^2(\frac{\alpha}{2}, n - 1) = \chi&2(0.025, 9) = 2.700 \\ \chi^2(1 -\frac{\alpha}{2}, n - 1) = \chi&2(0.0975, 9) = 19.023 \end{align} $$ 4) Obszar krytyczny $$ k = <0;2.700> u <10.023;∞> $$ 5) Wniosek $\chi^2-2.5 e K$, więc na poziomie istotności 0.05 odrzucamy $H_0$ # Analiza wariancji Pobieramy próbki $x_{ij}$ j - ty wynik w i-tej próbce Średnia Średnia ogólna – średnia ze wszystkich wyników razem (średnia ważona w grupach) Analiza wariancji opiera się na obserewacji Karla Pearcena – jakbyśmy policzyli sumy kwadratów i odjęli średnią ogólną to rozbijemy to ona mierzy zmienność między próbkami. Suma kwadratów odchyleń według grup (resztkowa suma kwadratów) $= q_G$ Suma odchyleń kwadratów między próbami $= q_P$ Wszystkie q traktujemy jako realizacje zmiennych losowych Q z indeksem odpowiednim do q. Rozkład fishera snedekora. Test Barteletta jednorodności w wariancji w k populacji. Zał: - Jednakowe wariancje - Rozkład normalny Test rangowych znaków dla jednej populacji Rangowanie polega na nadawaniu rang wartościom. Przy identycznych wartościach nadajemy średnią artmetyczną rang, które przypadałaby na te wartości. # Regresje I i II rodzaju ## I rodzaj Funkcja regresji liniowej I rodzaju zmiennej Y względem zmiennej X jest zbiorem punktów $(x, g_2(x)) \in R^2$ __Zadanie 27.7 prezentacja wykład 12 na egzaminie__ ## Rodzaj II Funkcję, której przewidywaną postać wyznacza się metodą mniejszych kwadraatów minimalizując wyrażenie $E(Y - g(X))^2$, nazywamy funkcją regresji II rodzaju