# Zdarzenia losowe
## Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych?
zdarzenie – $\omega$ 
przestrzeń zdarzeń – $\Omega$

## Co to jest zbiór przeliczalny 
Zbiór, który da się ponumerować
Dopełnienie zbioru jest też jego elementem.

## Co to jest zdarzenie elementarne?
Dowolne $A$ należące do $Z$ to zdarzenie losowe.

Dopełnienie i suma jest też zdarzeniem losowym.

## Zdarzenie niemożliwe
Zbiór pusty

Zdarzenia których przekrój jest pusty wykluczają się.

# Przykłady przestrzeni mierzalnych
Zbiory borelowskie to rodzina wszystkich przedziałów ograniczonych otwartych (najmniejsza klasa zdarzeń losowych zawierających rodzinę $\epsilon$)

# Definicja prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo — probabilistyka

# Definicja Laplace'a
$\Omega$ — skończony, definicja Laplace'a

Jeżeli prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń elementarnych jest jednakowe to $P({\omega_n})  = \frac{1}{n}$ 

# Miara Lebesgue'a (lebega) m
Na prostej — długość
Na płaszczyźnie — pole
W przestrzeni — objętosć

Prawdopodobieństwo geometryczne.

Jeśli m jest miarą Lebesgue'a to można policzyć pole.

**Uwaga** miara bezatomowa, czyli dla pojedyńczych punktów = $0$

# Zmienna losowa
Funkcja, która zdarzeniom przypisuje liczbę!
Przekształca zdarzenia na zdarzenia.
(cokolwiek to znaczy)

Jeśli zbiór jest przeliczalny to każda funkcja jest zmienną losową.

## Dystrybuanta 
Coś tam, funkcją jest, jestem głodny

Funkcja prawostronnie ciągła.

W -∞ jest zerem, a w +∞ jest 1.

# Wariancja
Wariancja X to liczba. (czemu te definicje są takie nieludzkie)

Odchylanie standardowe to pierwiastek z wariancji. Oznaczana małą literką sigma $\sigma$.

Współczynnik zmienności mierzy odchylenie standardowe względem morbiusa.

Kwantyl rzędu p to jakaś liczba pomiędzy granicą funkcji a jej wartością (?)

Jak podaje [wikipedia](https://pl.wikipedia.org/wiki/Kwantyl):
> Kwantyle to punkty odcięcia dzielące zakres rozkładu prawdopodobieństwa na ciągłe przedziały o równych prawdopodobieństwach lub dzielące obserwacje w próbie w ten sam sposób.

## Mediana
Wartość najbardziej po środku

## Kwartyle
To kwantyl rzędu $0.25, 0.5, 0.75$.
Kwantyl $0.5$ to mediana.

## Centyle setyle dupyle
itp można tak dzielić

### Długość dziecka
Kwantylami można zmierzyć długość dziecka, bo dzięki temu można zapobiec różnym problemom.

# Inne charakterystyki zmiennej losowej
Miary mierzące asymetrię rozkładu.

Mamy wydłużony ogon po lewej stronie.

## Rozkład płac
Większość ludzie zarabia średnią, a nieliczone jednostki zarabiają dużo.

Przy robieniu pomiaru należy odrzucić jednostki skrajne.

## Dominanta
Moda, czyli coś co ma duże prawdopodobieństwo.

# Rozkład

## 0-1
| $x_1$<br> | 0   | 1   |
| --------- | --- | --- |
| $p_1$     | q   | p   |
Nie wiem o co chodzi.


## Rozkład dwumianowy
Kombinacje tworzą trójkąt pascala chyba czy coś?

## Rozkład geometryczny
Mamy tylko parametr P, zmienna losowa X przyjmuje K.
Sumujemy ciąg geometryczny o ilorazie q.

## Rozkład poissona
Trujący chyba

### Zmienne typu ciągłego
Wartość dystrybuanty w punkcie x to jest całka, bo to pole pod wykresem.

## Rozkład wykladniczy
Funkcja gaussa.