# Zdarzenia losowe
## Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych?
zdarzenie – $\omega$ 
przestrzeń zdarzeń – $\Omega$

## Co to jest zbiór przeliczalny 
Zbiór, który da się ponumerować
Dopełnienie zbioru jest też jego elementem.

## Co to jest zdarzenie elementarne?
Dowolne $A$ należące do $Z$ to zdarzenie losowe.

Dopełnienie i suma jest też zdarzeniem losowym.

## Zdarzenie niemożliwe
Zbiór pusty

Zdarzenia których przekrój jest pusty wykluczają się.

# Przykłady przestrzeni mierzalnych
Zbiory borelowskie to rodzina wszystkich przedziałów ograniczonych otwartych (najmniejsza klasa zdarzeń losowych zawierających rodzinę $\epsilon$)

# Definicja prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo — probabilistyka

# Definicja Laplace'a
$\Omega$ — skończony, definicja Laplace'a

Jeżeli prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń elementarnych jest jednakowe to $P({\omega_n})  = \frac{1}{n}$ 

# Miara Lebesgue'a (lebega) m
Na prostej — długość
Na płaszczyźnie — pole
W przestrzeni — objętosć

Prawdopodobieństwo geometryczne.

Jeśli m jest miarą Lebesgue'a to można policzyć pole.

**Uwaga** miara bezatomowa, czyli dla pojedyńczych punktów = $0$

# Zmienna losowa
Funkcja, która zdarzeniom przypisuje liczbę!
Przekształca zdarzenia na zdarzenia.
(cokolwiek to znaczy)

Jeśli zbiór jest przeliczalny to każda funkcja jest zmienną losową.

## Dystrybuanta 
Coś tam, funkcją jest, jestem głodny

Funkcja prawostronnie ciągła.

W -∞ jest zerem, a w +∞ jest 1.