2.4 KiB
Liczba urojona to liczba taka, że i^2 = -1
Moduł
Moduł to odległość. Wartość bezwzględna jest konkretnym przypadkiem modułu.
Wzór na moduł z liczby zespolonej:
Jest to zwyczajnie odległość od punktu 0 do konkretnej liczby zespolonej w układzie współrzędnych.
Ten dziwny znaczek pomiędzy |z| a osią a czytamy fi.
Postać trygonometryczna
Tak wygląda postać trygonometryczna. Zawiera ona w sumie moduł z z oraz funkcje trygonometryczne kąta fi.
Interpretacja geometryczna
Liczby urojone przedstawiamy na dwuwymiarowej osi liczbowej, gdzie jedna płaszczyzna to liczby rzeczywiste, a druga urojone. Przypomina to grę w statki, tylko jeden z wymiarów fizycznie nie istnieje, więc jak się nad tym głębiej zastanowić, to ani trochę nie przypomina to gry w statki.
Kąt pomiędzy osią a, a |z| to fi.
Wzór de Moivre'a
Liczby zespolone z,w∈C, z argumentami odpowiednio: α i β, Możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:
Iloczyn tych liczb:
To wskazuje na to, że po wymnożeniu dwóch liczb zespolonych otrzymujemy liczbę zespoloną, której:
- moduł jest iloczynem modułów liczb z oraz w
- argument jest sumą argumentów liczb z oraz w
Dzięki temu cudownemu wzorowi możemy podnosić liczby zespolone do dowolnych potęg!!!
Tzn, że jak mamy liczbę zespoloną w postaci |z| (cos fi + i sin fi)^n(czyli trygonometrycznej) to możemy to n wyjebać i pomnożyć razy to n fi w cos i sin.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Ważne info Generalnie gdy wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej, to zawsze otrzymujemy n rozwiązań. O tym jak obliczyć te rozwiązania mówi następujące twierdzenie:
