ZUT-notatki/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Kryterium Cauche'ego (pierwiastkowe).md

Jeżeli granica z sqrt(an, n) < 1, to szereg jest zbieżny Jeżeli granica z sqrt(an, n) > 1, to szereg jest rozbieżny Jeżeli granica z sqrt(an, n) = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności szeregu

Dodatkowo, jeśli od pewnego momentu >= 1, to jest to szereg rozbieżny.

Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności szeregów, we wzorach których występują potęgi n-tego stopnia.

Czyli intuicyjnie:

• Gdy granica pierwiastka stopnia n z każdego kolejnego elementu ciągu jest mniejsza niż 1, to te pierwiastki muszą sumować się do 1, bo będziemy sumować coraz to mniejsze ułamki (to tak jakbyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz mniejszy element kwadratu- gdybyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz to mniejsze części, to w końcu zamalujemy go całego)
• Gdy ta granica jest większa od 1, to dodajemy pierwiastki coraz to większych liczby, więc ucieka nam to w nieskończoność.
• Gdy ta granica jest równa 1, to nic nam to nie mówi