ZUT-notatki/uczelnia/2_semestr/matematyka_stosowana/Prawdopodobieństwo.md

Spis tematów

1. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa i zdarzenia losowe

• Przestrzeń zdarzeń elementarnych (Ω) i pojedyncze zdarzenia elementarne (ω)

• Zbiory przeliczalne

• Działania na zbiorach i zdarzeniach (dopełnienie, suma, przekrój)

• Zdarzenie niemożliwe i zdarzenia wykluczające się

• Przestrzenie mierzalne i zbiory borelowskie

2. Definicje i miary prawdopodobieństwa

• Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace'a) dla przestrzeni skończonych

• Miara Lebesgue'a (odnosząca się do długości, pola i objętości)

• Prawdopodobieństwo geometryczne i pojęcie miary bezatomowej

3. Zmienna losowa i statystyka opisowa (charakterystyki zmiennej)

• Definicja zmiennej losowej jako funkcji

• Dystrybuanta i jej własności (ciągłość, granice w nieskończoności)

• Miary rozproszenia: Wariancja, odchylenie standardowe (σ) i współczynnik zmienności

• Miary położenia: Kwantyle, mediana, kwartyle, centyle (oraz ich praktyczne zastosowanie, np. do mierzenia długości dziecka)

• Miary asymetrii rozkładu (np. wydłużony ogon, na przykładzie rozkładu płac)

• Wartości skrajne (konieczność ich odrzucania przy pomiarach)

• Dominanta (moda)

4. Rozkłady prawdopodobieństwa

• Rozkłady dyskretne (skokowe):

  • Rozkład zero-jedynkowy (0-1)

  • Rozkład dwumianowy (wzmianka o trójkącie Pascala)

  • Rozkład geometryczny (ciąg geometryczny z parametrami p i q)

  • Rozkład Poissona

• Zmienne i rozkłady typu ciągłego:

  • Związek dystrybuanty z całką (pole pod wykresem)

  • Rozkład wykładniczy

  • Rozkład normalny (funkcja Gaussa)

5. Wektory losowe i zagadnienia zaawansowane

• Niezależność zmiennych losowych

• Wektory losowe (w tym wektory typu skokowego) i ich dystrybuanty

• Charakterystyki wektora losowego

• Twierdzenia graniczne (jako temat zamykający)

Zdarzenia losowe

Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych?

zdarzenie – \omega przestrzeń zdarzeń – \Omega

Co to jest zbiór przeliczalny

Zbiór, który da się ponumerować Dopełnienie zbioru jest też jego elementem.

Co to jest zdarzenie elementarne?

Dowolne A należące do Z to zdarzenie losowe.

Dopełnienie i suma jest też zdarzeniem losowym.

Zdarzenie niemożliwe

Zbiór pusty

Zdarzenia których przekrój jest pusty wykluczają się.

Przykłady przestrzeni mierzalnych

Zbiory borelowskie to rodzina wszystkich przedziałów ograniczonych otwartych (najmniejsza klasa zdarzeń losowych zawierających rodzinę \epsilon)

Definicja prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo — probabilistyka

Definicja Laplace'a

\Omega — skończony, definicja Laplace'a

Jeżeli prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń elementarnych jest jednakowe to P({\omega_n}) = \frac{1}{n}

Miara Lebesgue'a (lebega) m

Na prostej — długość Na płaszczyźnie — pole W przestrzeni — objętosć

Prawdopodobieństwo geometryczne.

Jeśli m jest miarą Lebesgue'a to można policzyć pole.

Uwaga miara bezatomowa, czyli dla pojedyńczych punktów = 0

Zmienna losowa

Funkcja, która zdarzeniom przypisuje liczbę! Przekształca zdarzenia na zdarzenia. (cokolwiek to znaczy)

Jeśli zbiór jest przeliczalny to każda funkcja jest zmienną losową.

Dystrybuanta

Coś tam, funkcją jest, jestem głodny

Funkcja prawostronnie ciągła.

W -∞ jest zerem, a w +∞ jest 1.

Wariancja

Wariancja X to liczba. (czemu te definicje są takie nieludzkie)

Odchylanie standardowe to pierwiastek z wariancji. Oznaczana małą literką sigma \sigma.

Współczynnik zmienności mierzy odchylenie standardowe względem morbiusa.

Kwantyl rzędu p to jakaś liczba pomiędzy granicą funkcji a jej wartością (?)

Jak podaje wikipedia:

Kwantyle to punkty odcięcia dzielące zakres rozkładu prawdopodobieństwa na ciągłe przedziały o równych prawdopodobieństwach lub dzielące obserwacje w próbie w ten sam sposób.

Mediana

Wartość najbardziej po środku

Kwartyle

To kwantyl rzędu 0.25, 0.5, 0.75. Kwantyl 0.5 to mediana.

Centyle setyle dupyle

itp można tak dzielić

Długość dziecka

Kwantylami można zmierzyć długość dziecka, bo dzięki temu można zapobiec różnym problemom.

Inne charakterystyki zmiennej losowej

Miary mierzące asymetrię rozkładu.

Mamy wydłużony ogon po lewej stronie.

Rozkład płac

Większość ludzie zarabia średnią, a nieliczone jednostki zarabiają dużo.

Przy robieniu pomiaru należy odrzucić jednostki skrajne.

Dominanta

Moda, czyli coś co ma duże prawdopodobieństwo.

Rozkład

0-1

$x_1$	0	1
p_1	q	p
Nie wiem o co chodzi.

Rozkład dwumianowy

Kombinacje tworzą trójkąt pascala chyba czy coś?

Rozkład geometryczny

Mamy tylko parametr P, zmienna losowa X przyjmuje K. Sumujemy ciąg geometryczny o ilorazie q.

Rozkład poissona

Trujący chyba

Zmienne typu ciągłego

Wartość dystrybuanty w punkcie x to jest całka, bo to pole pod wykresem.

Rozkład wykladniczy

Funkcja gaussa.

Wektory losowe i niezależność zmiennych losowych

Dystrybuanta wektora losowego

Wektor losowy typu skokowego

Charakterystyki wektora losowego centralne, twierdzenia graniczne i elementy statystyki opisowej

Ostatni temat z prawdopodobieństwa.

Zmienne dwuwymiarowe.

Kowariancja jest symetryczna

Kowariancja to miara określające siłę oraz zależność dwóch zmiennych losowych.

Suma zmiennych to suma wariancji +- suma kowariancji

Jeżeli zmienne X i Y są niezależne to kowariancja jest 0. Tego twierdzenia nie można odwrócić.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona.

Macierz kowariancji (momentów)

Nie rozumiem co tu się dzieje.

Centralne twierdzenie graniczne — jeśli ciąg zmiennych losowych Y_{n\space n \in N} jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej Y o rozkładzie N(0,1)

Twierdzenie Lindberga - Levy'ego i Moivre'a - Laplace'a

Elementy statystyki opisowej

Szereg statystyczny

• Prosty – uporządkowany niemalejąco
• Punktowy – dla cech skokowych (na wykresie kropki)
• Przedziałowy – dla cech ciągłych (na wykresie takie prostokąciki)

Statystyka i estymacja

Definicje

• Cecha – zmienna losowa

• Badanie próbne – wysoce wiarygodne, ale estymowane na podstawie próbki, więc nieidealne

• Estymacja – policzenie próbki i uogólnienie wyników

• Weryfikacja hipotez

• Próba losowa prosta – mamy zmienną losową X. Ciąg zmiennych X_1, X_2, ..., nazywamy n-elementową statystyczną próba losowa prosta. Jeśli zmienne są niezależnie i rozkłada X_i nie jest taki sam jak rozkład X.

• Statystyka – dowolna funkcja statystyczna

Średnia z próby

Przy zmiennych losowych o rozkładzie normalnym, średnia artymetyczna z próby ma rozkład normalny.

Estymacja punktowa

Mamy nieznane \theta rozkładu zmiennej losowej X. Estymator \theta rozkładu zmiennej X nazywamy dowolną statystyką, której wartości przyjmujemy za ocenę wielkości parametru \theta

Używając lepszego estymatora otrzymujemy większą dokładność.

Sprawdzenie efektywności umożliwia nierówność Rao-Cramera.

Istotna uwaga

Przy interpretacji przedziału ufności nie należy stosować następującego sformułowania: „parametr z prawdopodobieństwem należy do przedziału w okolicach (...)”, ponieważ parametr nie zalezy od wyników próby losowej. Jest stałą. Zmienny jest natomiast przedział ufności, którego końce zależą od próby losowej.

Parametryczne testy istotności

Weryfikacja hipotezy dotyczącej wariancji

• Obszar krytyczny K – Lewo prawo, oba Jakieś dziwne znaczki.

---

Przykład: s = 1.5 n = 10 \alpha = 0.05 Teza: odchylenie standardowe pomiarów różni się od 1.0 na poziomie istotności 0.05

1. Hipotezy

\begin{align}
h_0 = \chi = 1 \\
h_1 = \chi ≠ 1
\end{align}

2. stat testowa

\chi^2 = \frac{ns^2}{\sigma^2} = \frac{10 \times 1.5^2}{1^2} = 22.5

3. Kwantyle

\begin{align}
\chi^2(\frac{\alpha}{2}, n - 1) = \chi&2(0.025, 9) = 2.700 \\
\chi^2(1 -\frac{\alpha}{2}, n - 1) = \chi&2(0.0975, 9) = 19.023
\end{align}

4. Obszar krytyczny

k = <0;2.700> u <10.023;∞>

5. Wniosek \chi^2-2.5 e K, więc na poziomie istotności 0.05 odrzucamy H_0

Analiza wariancji

Pobieramy próbki x_{ij} j - ty wynik w i-tej próbce Średnia Średnia ogólna – średnia ze wszystkich wyników razem (średnia ważona w grupach) Analiza wariancji opiera się na obserewacji Karla Pearcena – jakbyśmy policzyli sumy kwadratów i odjęli średnią ogólną to rozbijemy to ona mierzy zmienność między próbkami. Suma kwadratów odchyleń według grup (resztkowa suma kwadratów) = q_G Suma odchyleń kwadratów między próbami = q_P Wszystkie q traktujemy jako realizacje zmiennych losowych Q z indeksem odpowiednim do q. Rozkład fishera snedekora.

Test Barteletta jednorodności w wariancji w k populacji. Zał:

• Jednakowe wariancje
• Rozkład normalny

Test rangowych znaków dla jednej populacji Rangowanie polega na nadawaniu rang wartościom. Przy identycznych wartościach nadajemy średnią artmetyczną rang, które przypadałaby na te wartości.

Regresje I i II rodzaju

I rodzaj

Funkcja regresji liniowej I rodzaju zmiennej Y względem zmiennej X jest zbiorem punktów (x, g_2(x)) \in R^2

Zadanie 27.7 prezentacja wykład 12 na egzaminie

Rodzaj II

Funkcję, której przewidywaną postać wyznacza się metodą mniejszych kwadraatów minimalizując wyrażenie E(Y - g(X))^2, nazywamy funkcją regresji II rodzaju