refaktoryzacja notatek

uczelnia/1_semestr/algebra_liniowa/Liczby zespolone.md

@@ -0,0 +1,40 @@
+Liczba urojona to liczba taka, że `i^2 = -1`
+
+# Moduł
+Moduł to odległość. Wartość bezwzględna jest konkretnym przypadkiem modułu.
+Wzór na moduł z liczby zespolonej:
+![Pasted image 20251006151439](/media/Pasted%20image%2020251006151439.png)
+Jest to zwyczajnie odległość od punktu 0 do konkretnej liczby zespolonej w układzie współrzędnych.
+![Pasted image 20251006151526](/media/Pasted%20image%2020251006151526.png)
+Ten dziwny znaczek pomiędzy |z| a osią a czytamy fi.
+# Postać trygonometryczna
+![Pasted image 20251006152238](/media/Pasted%20image%2020251006152238.png)
+Tak wygląda postać trygonometryczna. Zawiera ona w sumie moduł z `z` oraz funkcje trygonometryczne kąta fi.
+
+# Interpretacja geometryczna
+![Pasted image 20251006151033](/media/Pasted%20image%2020251006151033.png)
+Liczby urojone przedstawiamy na dwuwymiarowej osi liczbowej, gdzie jedna płaszczyzna to liczby rzeczywiste, a druga urojone. Przypomina to grę w statki, tylko jeden z wymiarów fizycznie nie istnieje, więc jak się nad tym głębiej zastanowić, to ani trochę nie przypomina to gry w statki.
+
+![Pasted image 20251006151308](/media/Pasted%20image%2020251006151308.png)
+Kąt pomiędzy osią a, a |z| to fi.
+# Wzór de Moivre'a
+ Liczby zespolone z,w∈C, z argumentami odpowiednio: α i β, Możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:
+ 
+ ![Pasted image 20251006152512](/media/Pasted%20image%2020251006152512.png)
+
+ Iloczyn tych liczb:
+![Pasted image 20251006152559](/media/Pasted%20image%2020251006152559.png) 
+
+To wskazuje na to, że po wymnożeniu dwóch liczb zespolonych otrzymujemy liczbę zespoloną, której:
+- moduł jest iloczynem modułów liczb z oraz w
+- argument jest sumą argumentów liczb z oraz w
+![Pasted image 20251006152754](/media/Pasted%20image%2020251006152754.png)
+Dzięki temu cudownemu wzorowi możemy podnosić liczby zespolone do dowolnych potęg!!!
+
+Tzn, że jak mamy liczbę zespoloną w postaci `|z| (cos fi + i sin fi)^n`(czyli trygonometrycznej) to możemy to n wyjebać i pomnożyć razy to n fi w cos i sin.
+
+# Pierwiastkowanie liczb zespolonych
+[Ważne info](/https://www.matemaks.pl/pierwiastkowanie-liczb-zespolonych.html)
+Generalnie gdy wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej, to zawsze otrzymujemy n rozwiązań. O tym jak obliczyć te rozwiązania mówi następujące twierdzenie:
+
+![Pasted image 20251013195607](/media/Pasted%20image%2020251013195607.png)