mirror of
https://github.com/szymon-jozef/ZUT-notatki.git
synced 2026-10-27 19:20:39 +01:00
refaktoryzacja notatek
This commit is contained in:
@@ -1,5 +0,0 @@
|
||||
- [Literatura](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/1_wykład/Literatura.md)
|
||||
- [Zaliczenie](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/1_wykład/Zaliczenie.md)
|
||||
- [Zbiory liczbowe](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/1_wykład/Zbiory%20liczbowe.md)
|
||||
- [Ciągi](/Ciągi) (nawet nie chce mi się nic o tym pisać, bo to dość oczywiste)
|
||||
- [Granice ciągów](/Granice%20ciągów)
|
||||
@@ -1 +0,0 @@
|
||||
- Krysicki Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach część 1i 2, PWN
|
||||
@@ -1,3 +0,0 @@
|
||||
O godzinie 12:00
|
||||
6.02 - pierwszy termin
|
||||
12.02 - drugi termin
|
||||
@@ -1,6 +0,0 @@
|
||||
- Naturalne(N)
|
||||
- Całkowite(Z)
|
||||
- Wymierne(Q)
|
||||
- Rzeczywiste(R)
|
||||
- Zespolone(C)
|
||||
Dość oczywiste swoją drogą.
|
||||
@@ -1,2 +0,0 @@
|
||||
[Szeregi liczbowe](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Szeregi%20liczbowe.md)
|
||||
[Funkcje](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Funkcje.md)
|
||||
@@ -1,6 +0,0 @@
|
||||
[Kryterium porównawcze](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Kryterium%20porównawcze.md)
|
||||
[[uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Kryterium Cauche'ego (pierwiastkowe)|Kryterium Cauche'ego (pierwiastkowe)]]
|
||||
[[uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Kryterium d'Alemberta (ułamkowe)|Kryterium d'Alemberta (ułamkowe)]]
|
||||
|
||||
Podsumowując:
|
||||
Wszystkie te kryteria działają podobnie. Cauche'ego i d'Alemberta mówi nam, że gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze/większego to szereg będzie zbieżny/rozbieżny. Pierwszy w przypadku pierwiastków, drugi w przypadku ułamków. Kryterium porównawcze mówi nam to samo, ale w przypadku, gdy mamy 2 różne szeregi.
|
||||
@@ -1 +0,0 @@
|
||||
Podnosimy f^-1
|
||||
@@ -1,3 +0,0 @@
|
||||
- Przesuwanie funkcji o wektor (dość proste, nie będę się opisywał)
|
||||
- [Złożenie funkcji](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Złożenie%20funkcji.md)
|
||||
- [Funkcja odwrotna](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Funkcja%20odwrotna.md)
|
||||
@@ -1,2 +0,0 @@
|
||||
Granica szeregu nazywamy jego sumą.
|
||||
Czyli lim Xn = (sigma)^(nieskończoność) n=1 Xn
|
||||
@@ -1,12 +0,0 @@
|
||||
Jeżeli granica z sqrt(an, n) < 1, to szereg jest zbieżny
|
||||
Jeżeli granica z sqrt(an, n) > 1, to szereg jest rozbieżny
|
||||
Jeżeli granica z sqrt(an, n) = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności szeregu
|
||||
|
||||
Dodatkowo, jeśli od pewnego momentu >= 1, to jest to szereg rozbieżny.
|
||||
|
||||
Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności szeregów, we wzorach których występują potęgi n-tego stopnia.
|
||||
|
||||
Czyli intuicyjnie:
|
||||
- Gdy granica pierwiastka stopnia n z każdego kolejnego elementu ciągu jest mniejsza niż 1, to te pierwiastki muszą sumować się do 1, bo będziemy sumować coraz to mniejsze ułamki (to tak jakbyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz mniejszy element kwadratu- gdybyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz to mniejsze części, to w końcu zamalujemy go całego)
|
||||
- Gdy ta granica jest większa od 1, to dodajemy pierwiastki coraz to większych liczby, więc ucieka nam to w nieskończoność.
|
||||
- Gdy ta granica jest równa 1, to nic nam to nie mówi
|
||||
@@ -1,13 +0,0 @@
|
||||
Dla ciągu o wyrazach (an + 1) / an:
|
||||
- Jeżeli granica jest mniejsza niż 1, to szereg jest zbieżny
|
||||
- Jeżeli granica jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny
|
||||
- Jeżeli jest równa 1, to nic nam to nie mówi
|
||||
|
||||
Dodatkowo jeśli od pewnego momentu granica jest >= 1, to szereg jest rozbieżny.
|
||||
|
||||
Na ludzki:
|
||||
Gdy mamy taki szereg, że każdy kolejny element ciągu to element ciągu zwiększony o 1 i podzielony przez ten element, to
|
||||
- przy granicy mniejszej od 1 będziemy dodawali ułamki, więc zbiegamy do 1
|
||||
- przy granicy większej od 1 będziemy uciekali do nieskończoności
|
||||
- przy granicy równej 1 nic nam to nie mówi
|
||||
|
||||
@@ -1,19 +0,0 @@
|
||||
Porównujemy szereg, którego zbieżność znamy z innym, który badamy.
|
||||
|
||||
Dla dwóch dodatnich szeregów:
|
||||
A i B
|
||||
|
||||
Jeżeli dla prawie wszystkich n zachodzi a, <= bn to:
|
||||
- ze zbieżności szeregu B wynika zbieżność szeregu A
|
||||
- z rozbnieśności szeregu A wynika rozbieżność szeregu B
|
||||
|
||||
Czyli tłumacząc to na język bardziej ludzki. Gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze, niż elementy drugiego ciągu, to:
|
||||
- ze zbieżności większego wynika zbieżność mniejszego
|
||||
- z rozbnieżności mniejszego wynika rozbieżność większego
|
||||
|
||||
Jeśli mniejszy ucieka w nieskończoność, to większy tym bardziej.
|
||||
Jeśli większy zbiega do konkretnej wartości, to mniejszy tym bardziej.
|
||||
|
||||
To opiera się na porównywaniu do szeregu harmonicznego.
|
||||
|
||||
[Zadania](/https://www.matemaks.pl/kryterium-porownawcze.html)
|
||||
@@ -1,6 +0,0 @@
|
||||
Tak wygląda szereg harmoniczny (to szereg ciągu 1/n\[Czyli innymi słowy: mamy ciąg 1/n, dodajemy wszystkie jego elementy(to jest szereg), wtedy jego granica(suma szeregu) wynosi nieskończoność(bo wszystkie jego wyrazy można uprościć do 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ... + 1/2, jeśli zgrupujemy kolejne wyrazy w nawiasy, które zawierają w sobie 2^n elementów) więc nigdy nie przestaje on rosnąć.)])
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Dowód zbieżności (a raczej rozbieżności) szeregu harmonicznego.
|
||||
|
||||
@@ -1,11 +0,0 @@
|
||||
[Bardzo fajne źródło](/https://www.matemaks.pl/szeregi-liczbowe.html)
|
||||
Dla ciągu Xn określamy ciąg Sn wzorem Sn = (sigma)^n i=1 Xi
|
||||
wtedy
|
||||
S1 = X1
|
||||
S2 = X1 + X2
|
||||
S3 = X1 + X2 + X3
|
||||
itd.
|
||||
[Zbieżność](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Zbieżność.md)
|
||||
[Granica-Suma szeregu](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Granica-Suma%20szeregu.md)
|
||||
[Szereg harmoniczny](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Szereg%20harmoniczny.md)
|
||||
[Badanie zbieżności](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Badanie%20zbieżności.md)
|
||||
@@ -1,5 +0,0 @@
|
||||
Szereg jest zbieżny, gdy Sn sum częściowych jest zbieżny.
|
||||
Zbieżność oznacza dążenie do konkretnej liczby.
|
||||
Rozbieżność oznaczy dążenie nieokreślonej wartości (nieskończoność, minus nieskończoność\[to jest - szereg rośnie, rośnie i rośnie, nie wiemy kiedy przestanie rosnąść])
|
||||
|
||||
Jeżeli szereg jest zbieżny, to granica ciągu jest równa 0.
|
||||
@@ -1,3 +0,0 @@
|
||||
f o g(x) = f(g(x)) | Funkcja f jest złożona z funkcją g(x) tzn, że jako argumentu funkcji f możemy użyć g(x)
|
||||
|
||||
**To nie jest przemienne**
|
||||
@@ -1,14 +0,0 @@
|
||||
## Arcsin, arccos i tego typu.
|
||||
arc oznacza, że odwrotność, więc arcsin to odwrotność funkcji sin.
|
||||
arcsin 1/2 = π/6, bo sin π/6 = 1/2
|
||||
Prosta sprawa.
|
||||
|
||||
[Dzielenie wielomianów](/uczelnia/1_semestr/algebra_liniowa/3%20wykład/Dzielenie%20wielomianów.md)
|
||||
## granica funkcji
|
||||
też to miałem w technikum xdddd
|
||||
|
||||
|
||||
## twierdzenie o 3 funkcjach
|
||||
to samo co twierdzenie o 3 ciągacha, ale jest o funkcjach hihi
|
||||
|
||||
Czyli jak granica funkcji mniejszej i większej dąży do czegoś to ta pomiędzy też dąży do tego samego.
|
||||
@@ -1,4 +1 @@
|
||||
[1 wykład](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/1_wykład/1%20wykład.md)
|
||||
[2 wykład](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/2%20wykład.md)
|
||||
[3 wykład](/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/3%20wykład/3%20wykład.md)
|
||||
Na 7 i 14 spotkaniu: kolokwia
|
||||
[Szeregi](Szeregi.md)
|
||||
75
uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/Szeregi.md
Normal file
75
uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/Szeregi.md
Normal file
@@ -0,0 +1,75 @@
|
||||
# Źródła
|
||||
[Bardzo fajne źródło](/https://www.matemaks.pl/szeregi-liczbowe.html)
|
||||
# Wstęp
|
||||
## Suma szeregu
|
||||
Granice szeregu nazywamy jego sumą.
|
||||
Czyli lim Xn = (sigma)^(nieskończoność) n=1 Xn
|
||||
|
||||
Dla ciągu Xn określamy ciąg Sn wzorem Sn = (sigma)^n i=1 Xi
|
||||
wtedy
|
||||
S1 = X1
|
||||
S2 = X1 + X2
|
||||
S3 = X1 + X2 + X3
|
||||
itd.
|
||||
## Szereg harmoniczny
|
||||
Tak wygląda szereg harmoniczny (to szereg ciągu 1/n\[Czyli innymi słowy: mamy ciąg 1/n, dodajemy wszystkie jego elementy(to jest szereg), wtedy jego granica(suma szeregu) wynosi nieskończoność(bo wszystkie jego wyrazy można uprościć do 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ... + 1/2, jeśli zgrupujemy kolejne wyrazy w nawiasy, które zawierają w sobie 2^n elementów) więc nigdy nie przestaje on rosnąć.)])
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Dowód zbieżności (a raczej rozbieżności) szeregu harmonicznego.
|
||||
|
||||
|
||||
# Obliczanie zbieżności szeregów
|
||||
Szereg jest zbieżny, gdy Sn sum częściowych jest zbieżny.
|
||||
Zbieżność oznacza dążenie do konkretnej liczby.
|
||||
Rozbieżność oznaczy dążenie nieokreślonej wartości (nieskończoność, minus nieskończoność\[to jest - szereg rośnie, rośnie i rośnie, nie wiemy kiedy przestanie rosnąść])
|
||||
|
||||
Jeżeli szereg jest zbieżny, to granica ciągu jest równa 0.
|
||||
## Kryterium Cauche'ego (pierwiastkowe)
|
||||
Jeżeli granica z sqrt(an, n) < 1, to szereg jest zbieżny
|
||||
Jeżeli granica z sqrt(an, n) > 1, to szereg jest rozbieżny
|
||||
Jeżeli granica z sqrt(an, n) = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności szeregu
|
||||
|
||||
Dodatkowo, jeśli od pewnego momentu >= 1, to jest to szereg rozbieżny.
|
||||
|
||||
Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności szeregów, we wzorach których występują potęgi n-tego stopnia.
|
||||
|
||||
Czyli intuicyjnie:
|
||||
- Gdy granica pierwiastka stopnia n z każdego kolejnego elementu ciągu jest mniejsza niż 1, to te pierwiastki muszą sumować się do 1, bo będziemy sumować coraz to mniejsze ułamki (to tak jakbyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz mniejszy element kwadratu- gdybyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz to mniejsze części, to w końcu zamalujemy go całego)
|
||||
- Gdy ta granica jest większa od 1, to dodajemy pierwiastki coraz to większych liczby, więc ucieka nam to w nieskończoność.
|
||||
- Gdy ta granica jest równa 1, to nic nam to nie mówi
|
||||
|
||||
## Kryterium d'Alemberta (ułamkowe)
|
||||
Dla ciągu o wyrazach (an + 1) / an:
|
||||
- Jeżeli granica jest mniejsza niż 1, to szereg jest zbieżny
|
||||
- Jeżeli granica jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny
|
||||
- Jeżeli jest równa 1, to nic nam to nie mówi
|
||||
|
||||
Dodatkowo jeśli od pewnego momentu granica jest >= 1, to szereg jest rozbieżny.
|
||||
|
||||
Na ludzki:
|
||||
Gdy mamy taki szereg, że każdy kolejny element ciągu to element ciągu zwiększony o 1 i podzielony przez ten element, to
|
||||
- przy granicy mniejszej od 1 będziemy dodawali ułamki, więc zbiegamy do 1
|
||||
- przy granicy większej od 1 będziemy uciekali do nieskończoności
|
||||
- przy granicy równej 1 nic nam to nie mówi
|
||||
|
||||
## Kryterium porównawcze
|
||||
Porównujemy szereg, którego zbieżność znamy z innym, który badamy.
|
||||
|
||||
Dla dwóch dodatnich szeregów:
|
||||
A i B
|
||||
|
||||
Jeżeli dla prawie wszystkich n zachodzi a, <= bn to:
|
||||
- ze zbieżności szeregu B wynika zbieżność szeregu A
|
||||
- z rozbnieśności szeregu A wynika rozbieżność szeregu B
|
||||
|
||||
Czyli tłumacząc to na język bardziej ludzki. Gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze, niż elementy drugiego ciągu, to:
|
||||
- ze zbieżności większego wynika zbieżność mniejszego
|
||||
- z rozbnieżności mniejszego wynika rozbieżność większego
|
||||
|
||||
Jeśli mniejszy ucieka w nieskończoność, to większy tym bardziej.
|
||||
Jeśli większy zbiega do konkretnej wartości, to mniejszy tym bardziej.
|
||||
|
||||
To opiera się na porównywaniu do szeregu harmonicznego.
|
||||
# Podsumowanie
|
||||
Wszystkie te kryteria działają podobnie. Cauche'ego i d'Alemberta mówi nam, że gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze/większego to szereg będzie zbieżny/rozbieżny. Pierwszy w przypadku pierwiastków, drugi w przypadku ułamków. Kryterium porównawcze mówi nam to samo, ale w przypadku, gdy mamy 2 różne szeregi.
|
||||
Reference in New Issue
Block a user