Obliczanie granicy ciągów

Na kolokwium będą takie same typy ciągów, ale inne liczby oczywiście

Pierwiastek z funkcji +- coś:
- Takie coś mnożymy przez "sprzężenie"(zamieniamy znak pomiędzy wyrażeniami)/ sprzężenie
- Wtedy wychodzi wynik
- \lim_{n \to \infty} \sqrt{9n^2 + 2n -5} -3n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{9n^2 + 2n -5} -3n \times \frac{\sqrt{9n^2 + 2n -5} - 3n}{\sqrt{9n^2 + 2n -5} - 3n}
- \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + 2n - 5} - 3n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \sqrt{9n^2 + 2n - 5} - 3n \right)\left( \sqrt{9n^2 + 2n - 5} + 3n \right)}{\sqrt{9n^2 + 2n - 5} + 3n}.
Twierdzenie o trzech ciągach:
- Bierzemy największy element pod pierwiastkiem
- Porównujemy do ciągu mniejszego i większego, czyli w mniejszym dajemy tylko największy element, a w większym zamieniamy wszystko na największy element
- Granica to powinien wyjść właśnie ten największy element
- Tak mówi chatgpt, ale to podobno NiE jESt iStniEjąCa zalEŻnoŚć, więc trzeba liczyć z tego
Operowanie na potęgach:
- Rozbijamy te potęgi
- Wyciągamy potęgę przed nawias
- Skracamy

Zbieżność szeregów

Szeregi Jeden przykład na kryt. leibniza, drugie na d'alemberta/cauchiego.

Dość proste zadanie (zwane również: łatwe punkty)

h=(x_0+h)−x_0

Prosta sprawa, podstawiamy do wzoru. Liczymy granicę. Powinno wyjść...

Tu się przeważnie liczy pochodne funkcji złożonych, więc ze wzorów się da ogarnąć.

To musze poćwiczyć dla tych niektórych dziwnych funkcji…

Duuuuże zadanie.