ZUT-notatki/uczelnia/1_semestr/algebra_liniowa/Kolokwium liczby zespolone i wielomiany.md

---
title:
  name: Spis treści
  level: 1
  center: false
exclude: ""
style:
  listType: dash
omit: []
levels:
  min: 1
  max: 6
---

# Spis treści

- Liczby zespolone
    - Potęgowanie
        - Metoda
        - Trudność
        - Mnożenie/dzielenie potęgowanych liczb zespolonych
    - Pierwiastkowanie
        - Metoda
    - Pierwiastki kwadratowe
        - Czym się różnią od zwykłych?
        - Jak to liczyć?
    - Równania
        - Metoda
    - Równania wielomianowe
        - Metoda
- Wielomiany
    - Dzielenie wielomianów
        - Schemat Hornera
        - Dzielenie pisemne
    - Rozwiązywanie nierówności
        - Rysowanie wykresów wielomianów

Liczby zespolone

Potęgowanie

Metoda

Potęgowanie liczb zespolonych jest dość proste. Wygląda mniej więcej tak:

(a + ib)^n = |z|^n \big(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)\big)

Trudność

Jedyne, co może sprawiać trudność, to przerabianie kąta (\varphi) na radiany oraz stosowanie wzorów redukcyjnych. Z wprawą staje się to jednak łatwiejsze.

Przykład poprawnej redukcji kąta:

cos\frac{5\pi}{6} = \cos\Big(\pi - \frac{\pi}{6}\Big) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.

Najważniejsze (chyba) wzory redukcyjne przy takich przeliczeniach:

Mnożenie/dzielenie potęgowanych liczb zespolonych

Wygląda strasznie, ale nie jest wiele bardziej skomplikowane. Korzystamy z właściwości funkcji trygonometrycznych:

z_1^n \cdot z_2^m = |z_1|^n \cdot |z_2|^m \Big(\cos(n\varphi_1 + m\varphi_2) + i \sin(n\varphi_1 + m\varphi_2)\Big)

Z dzieleniem jest tak samo, tylko zamiast dodawać kąty, odejmujemy je, a moduły dzielimy:

\frac{z_1^n}{z_2^m} = \frac{|z_1|^n}{|z_2|^m} \Big(\cos(n\varphi_1 - m\varphi_2) + i \sin(n\varphi_1 - m\varphi_2)\Big)

Pierwiastkowanie

Metoda

Tutaj stosujemy podobną metodę, ale zamiast mnożyć przez (n) w argumentach, dzielimy przez stopień pierwiastka i pamiętamy, że pierwiastków jest kilka (w zależności od stopnia).

\sqrt[n]{r(\cos\varphi + i\sin\varphi)} = \sqrt[n]{r} \Big(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n} + i \sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\Big), \quad k=0,1,\dots,n-1

Tak bardziej po ludzku:

• Rozwiązań pierwiastka w liczbach zespolonych jest tyle jaki jest stopień pierwiastka. Dla sqrt(z)^6 będzie 6 rozwiązań.
• To znaczy, że będziemy musieli policzyć 6 różnych wyników.
• Rozwiązania "indexujemy" jak tablice w programowaniu. Od 0 do n-1.
• Czyli liczymy sobie k_0, k_1, k_2, ..., k_{n-1} i w miejsce k podstawiamy rozwiązanie które liczymy. Dość prosta sprawa!

Pierwiastki kwadratowe

Czym się różnią od zwykłych?

Nie liczymy tego zwykłym wzorem (nie wiem czemu, nie chce mi sie sprawdzać).

Jak to liczyć?

Tworzymy sobie prosty układ równań, który zawsze będzie wyglądał tak samo. $$ \begin{cases} a^2-b^2 &= \Re(z) \ 2ab &= \Im(z) \ a^2 + b^2 &= |z| \end{cases}

Jego budowa wynika bezpośrednio z właściwości liczb zespolonych.
$z = a + ib \quad \implies \quad z^2 = (a+ib)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

Po prawej stronie układu podstawiamy sobie liczby.
Odejmujemy 3 od 1, wtedy mamy b.
a podstawiamy do drugiego równania i liczymy na jego podstawie a.
a może być wtedy na +/-, w zależności od znaku b. Dlatego mamy zestaw 2 rozwiązań.
W liczbach zespolonych jest tyle rozwiązań jaki jest stopień pierwiastka, więc wszystko się zgadza.
## Równania
### Metoda
Równania to są tak naprawdę zwykłe funkcje kwadratowe/wielomiany, z tą różnicą, że teraz liczymy w zbiorze liczb zespolonych. Co to znaczy? To znaczy, że możemy policzyć wynik nawet, gdy $\Delta<0$ !
Cała logika operacji na liczbach zespolonych pozostaje taka sama. 

## Równania wielomianowe
### Metoda
Tutaj musimy przekształcić to do formy $z^n = k$ a potem przedstawić k w formie trygonometrycznej i spierwiastkować do stopnia n.

Albo policzyć z funkcji kwadratowej.

# Wielomiany
## Dzielenie wielomianów
### Schemat Hornera
[matemaks](https://www.matemaks.pl/schemat-hornera.html)
![](../../../media/Pasted%20image%2020251116135721.png)

### Dzielenie pisemne
[matemaks](https://www.matemaks.pl/dzielenie-wielomianow.html)
No generalnie działa to tak samo jak dzielenie pisemne zwykłych liczb.

## Rozwiązywanie nierówności
Żeby rozwiązać nierówność trzeba narysować wykres funkcji i zobaczyć na jakich przedziałach spełniony jest warunek.

#### Rysowanie wykresów wielomianów
Żeby narysować wykres wielomianu:
- Musi być on przedstawiony w postaci iloczynowej 
- Muszą być wyznaczone jego miejsca zerowe. 
- Zaczynamy od prawej strony
- Jeżeli współczynnik kierunkowy jest ujemny to zaczynamy od dołu, jeśli dodatni do od góry
- Rysujemy linię do najbliższego miejsca zerowego
- Jeśli potęga przy tym miejscu zerowym jest parzysta to wykres się odbija i nie przebija osi y
- Jeśli potęga jest nieparzysta to wykres przebija oś y

Tym sposobem można narysować wykres wielomianu i rozwiązać dzięki niemu nierówność.