mirror of
https://github.com/szymon-jozef/ZUT-notatki.git
synced 2026-10-28 11:10:38 +01:00
40 lines
2.4 KiB
Markdown
40 lines
2.4 KiB
Markdown
Liczba urojona to liczba taka, że `i^2 = -1`
|
||
|
||
# Moduł
|
||
Moduł to odległość. Wartość bezwzględna jest konkretnym przypadkiem modułu.
|
||
Wzór na moduł z liczby zespolonej:
|
||
|
||
Jest to zwyczajnie odległość od punktu 0 do konkretnej liczby zespolonej w układzie współrzędnych.
|
||
|
||
Ten dziwny znaczek pomiędzy |z| a osią a czytamy fi.
|
||
# Postać trygonometryczna
|
||
|
||
Tak wygląda postać trygonometryczna. Zawiera ona w sumie moduł z `z` oraz funkcje trygonometryczne kąta fi.
|
||
|
||
# Interpretacja geometryczna
|
||
|
||
Liczby urojone przedstawiamy na dwuwymiarowej osi liczbowej, gdzie jedna płaszczyzna to liczby rzeczywiste, a druga urojone. Przypomina to grę w statki, tylko jeden z wymiarów fizycznie nie istnieje, więc jak się nad tym głębiej zastanowić, to ani trochę nie przypomina to gry w statki.
|
||
|
||
|
||
Kąt pomiędzy osią a, a |z| to fi.
|
||
# Wzór de Moivre'a
|
||
Liczby zespolone z,w∈C, z argumentami odpowiednio: α i β, Możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:
|
||
|
||
|
||
|
||
Iloczyn tych liczb:
|
||
|
||
|
||
To wskazuje na to, że po wymnożeniu dwóch liczb zespolonych otrzymujemy liczbę zespoloną, której:
|
||
- moduł jest iloczynem modułów liczb z oraz w
|
||
- argument jest sumą argumentów liczb z oraz w
|
||
|
||
Dzięki temu cudownemu wzorowi możemy podnosić liczby zespolone do dowolnych potęg!!!
|
||
|
||
Tzn, że jak mamy liczbę zespoloną w postaci `|z| (cos fi + i sin fi)^n`(czyli trygonometrycznej) to możemy to n wyjebać i pomnożyć razy to n fi w cos i sin.
|
||
|
||
# Pierwiastkowanie liczb zespolonych
|
||
[Ważne info](/https://www.matemaks.pl/pierwiastkowanie-liczb-zespolonych.html)
|
||
Generalnie gdy wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej, to zawsze otrzymujemy n rozwiązań. O tym jak obliczyć te rozwiązania mówi następujące twierdzenie:
|
||
|
||
 |