mirror of
https://github.com/szymon-jozef/ZUT-notatki.git
synced 2026-10-28 11:10:38 +01:00
162 lines
6.5 KiB
Markdown
162 lines
6.5 KiB
Markdown
# Szereg Maclaurina
|
|
**Zadanie za 4 pkt, więc może nie jest to największy priorytet ale dla kujonów może być**
|
|
|
|
Dajmy na to takie zadanie.
|
|
|
|
**Obliczyć $\cos \frac{1}{8}$ z dokładnością do $0.00000000001$ posługując się rozwinięciem funkcji $f(x)$ w szeregu Maclaurina.**
|
|
|
|
Słuchaj mordo, to bardzo proste zadanie! Otóż robimy coś takiego, że:
|
|
- Bierzemy se funkcje podaną w zadaniu, tutaj $\cos x$
|
|
- Liczymy dla niej kilka pochodnych, tyle, aż wartości zaczną się powtarzać. Rozumisz?! Czyli w naszym przypadku bierzesz tego cosinusa jebanego i go różniczkujesz jakby jutra miało nie być. Czyli
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
f(x) =& \cos(x) \\
|
|
f'(x) =& -\sin(x) \\
|
|
f''(x) =& -\cos(x) \\
|
|
f'''(x) =& \sin(x) \\
|
|
f''''(x) =& \cos(x) \\
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
Jak widać na załączonym wyżej obrazku 4 pochodna to ponownie cos, więc dalej nie liczysz. Czaisz to kurwa???
|
|
- Obliczamy wartości tych pochodnych w $0$. Dla szerego Maclaurina __zawsze__ w $0$. Czyli tutaj:
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
f(0) =& \cos(0) =& 1 \\
|
|
f'(0) =& -\sin(0) =& 0 \\
|
|
f''(0) =& -\cos(0) =& -1 \\
|
|
f'''(0) =& \sin(0) =& 0 \\
|
|
f''''(0) =& \cos(0) =& 1 \\
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
- Potem podstawiamy do wzoru na rozwinięcie szeregu:
|
|
$$
|
|
f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)
|
|
$$
|
|
Jakbyś się zastanawiał co to jest $R_n(x)$ to sie kurwa tyle nie zastanawiaj. Jak już koniecznie musisz to wiedzieć to wiedz, że to jest __jebana__ reszta szerego Macularina, którą tutaj __jebiesz__, bo nie jest nam do niczego potrzeba. Wyjebane w nią miej.
|
|
|
|
Tam pod $f'(0)$ podstawiasz poprzednio wyliczone wartości
|
|
- Jak już to masz to zajebiście, jesteśmy niemal w domu. Teraz wystarczy jeno uprościć.
|
|
- Uprościłeś? To tera pa na to:
|
|
$$
|
|
\cos(\frac{1}{8}) \approx 1 - \frac{(\frac{1}{8})^2}{2} + \frac{(\frac{1}{8})^4}{24} \approx 0.992197667
|
|
$$
|
|
- Brawo, teraz skończyłeś. Jedyne co ci pozostało to zaokrąglić do podanego w polecenia miejsca po przecinku. Chyba kurwa umiesz zaokrąglać jak jesteś na studiach? Nie będę tego robił. Jak nie umiesz to spierdalaj
|
|
# Obliczyć całki
|
|
**Zadanie za fhuj dużo punktów, więc lepiej umieć**
|
|
|
|
Tu jest kwestia zawiła, gdyż mamy różne metody, azaliż pozwolisz, mocium panie, iż wyłożę je teraz wszystkie z należytą staranności i dokładnością.
|
|
|
|
## Całkowanie przez podstawienie
|
|
Prosta piłka jak chuj. Jedyny szkopuł, który tutaj może przeszkadzać to taki, że trzeba umieć liczyć pochodne i dosyć dobrze je widzieć. Generalnie metoda jest taka, że:
|
|
- Bierzemy jakąś pojebaną całkę typu
|
|
$$
|
|
\int \frac{\sqrt[4]{3 + \operatorname{ctg}x}}{\sin ^2x}dx
|
|
$$
|
|
Widzisz to i myślisz sobie *o kurwa co ja mam zrobić???*
|
|
A to nie jest wcale takie trudne, bo metoda jest prosta. Otóż:
|
|
- Bierzesz to co wygląda na pojebane i podstawiasz pod $t$. Potem liczysz z tego $t$ pochodną.
|
|
W tym przypadku konkretnym wygląda to tak:
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
t =& 3 + \operatorname{ctg}x \\
|
|
dt =& -\frac{1}{\sin^2x}dx \\
|
|
-dt =& \frac{1}{\sin^2x}dx
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
No i co nam to w zasadzie __kurwa__ dało? Żeby to wiedzieć, trzeba umieć liczyć pochodne, mieć oczy i *myśleć*! Jak się zastanowisz nad tym, to ta część w mianowniku $dt$, to to samo co mianownik naszej całki!
|
|
- Jeżeli teraz wykonamy podstawienie to:
|
|
$$
|
|
\int \sqrt[4]{t} \times \operatorname-{dt}
|
|
$$
|
|
Jak nie widzisz co się stało to zamieniliśmy ten mianownik na $dt$.
|
|
|
|
- Teraz po prostu to liczymy ze wzoru:
|
|
$$
|
|
\int \sqrt[4]{t} \cdot -\operatorname{dt} = -\frac{4}{5}\sqrt[4]{t^5}
|
|
$$
|
|
- Nie można zapomnieć o podstawieniu!
|
|
$$
|
|
-\frac{4}{5}\sqrt[4]{(3 + \operatorname{ctg}x)^5} + C
|
|
$$
|
|
I to jest nasz wynik.
|
|
## Całkowanie przez części
|
|
Bardzo schematyczna metoda. Jak mamy taką całkę, że jej ni chuja nie da się policzyć to:
|
|
- bierzemy część całki i oznaczamy ją jako $u$. To różniczkujemy.
|
|
- bierzemy drugą część i oznaczamy ją jako $v'$. To całkujemy.
|
|
- $u \cdot v'$ musi dawać nam te oryginalną całkę
|
|
- podstawiamy do wzoru, który wygląda tak:
|
|
$$
|
|
u \cdot v - \int u' \cdot v
|
|
$$
|
|
- Powtarzamy aż do skutku! (można by rzec, że to algorytm rekurencyjny? być może…)
|
|
## Całki z pierwiastkami
|
|
Esencjonalnie trzeba zawsze sprowadzić do dwóch form:
|
|
$$
|
|
\begin{align}
|
|
\int\sqrt{a^2 - x^2} dx \\
|
|
\int\sqrt{x^2 + a} dx\\
|
|
\end{align}
|
|
$$
|
|
Jak już mamy takie gówno to liczymy ze wzoru.
|
|
|
|
Jak to tak przekształcić? Pewnie jakimiś wzorami skróconego mnożenia, dodaniem czegoś, odjęciem. Takie szmery bajery.
|
|
## Całki wymierne
|
|
Tutaj też wchodzą wzory. (nie chce mi sie ich przepisywać xd)
|
|
|
|
|
|
Trzeba przekształcić wielomian do takiej formy. Robimy to albo licząc deltę, przekształcając w formę kanoniczną albo jakimiś innymi wymyślnymi metodami.
|
|
|
|
Jak mamy w mianowniku funkcje co się ją da rozłożyć to robimy taki myk, że rozbijamy na dwa ułamki z licznikiem A i B, a potem wyliczamy te liczniki układem równań.
|
|
|
|
np.
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
% 1. Uproszczenie całki
|
|
\int \frac{5x-2}{2x^2 - 10x + 8} \,dx &= \frac{1}{2} \int \frac{5x-2}{x^2 - 5x + 4} \,dx \\[1em]
|
|
|
|
% 2. Miejsca zerowe mianownika
|
|
x^2 - 5x + 4 &= 0 \implies \Delta = 9, \quad x_1 = 1, \ x_2 = 4 \\
|
|
x^2 - 5x + 4 &= (x-1)(x-4) \\[1em]
|
|
|
|
% 3. Rozkład na ułamki proste
|
|
\frac{5x-2}{(x-1)(x-4)} &= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-4} \quad | \cdot (x-1)(x-4)\\
|
|
5x - 2 &= A(x-4) + B(x-1) \\
|
|
5x - 2 &= Ax - 4A + Bx - B \\
|
|
5x - 2 &= (A+B)x + (-4A-B) \\[1em]
|
|
|
|
% 4. Układ równań (porównanie współczynników)
|
|
&\begin{cases}
|
|
A + B = 5 \\
|
|
-4A - B = -2
|
|
\end{cases} \\
|
|
\text{Dodajemy stronami: } \quad -3A &= 3 \implies A = -1 \\
|
|
\text{Podstawiamy A: } \quad -1 + B &= 5 \implies B = 6 \\[1em]
|
|
|
|
% 5. Obliczenie całki
|
|
I &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{6}{x-4} \right) \,dx \\
|
|
&= \frac{1}{2} \left( -\ln|x-1| + 6\ln|x-4| \right) + C \\
|
|
&= -\frac{1}{2}\ln|x-1| + 3\ln|x-4| + C
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
Takie coś xdd
|
|
|
|
# Obliczyć całki oznaczone
|
|
Całki oznaczone różnią sie od nieoznaczonych tym, że jak już się już obliczy to trzeba jeszcze podstawić górna i dolną granicę i odjąć drugie od pierwszego.
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
I &= \int_{0}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \,dx \\[1em]
|
|
|
|
t &= \sqrt{x} \implies dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} \,dx \\
|
|
2\,dt &= \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx \\[1em]
|
|
|
|
x &= 0 \implies t = \sqrt{0} = 0 \\
|
|
x &= 4 \implies t = \sqrt{4} = 2 \\[1em]
|
|
|
|
I &= \int_{0}^{2} e^t \cdot 2 \,dt \\
|
|
&= 2 \int_{0}^{2} e^t \,dt \\
|
|
&= 2 \left[ e^t \right]_{0}^{2} \\
|
|
&= 2 (e^2 - e^0) \\
|
|
&= 2(e^2 - 1)
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
**Uwaga**, jeśli liczysz przez podstawienie to miej na baczności, że podstawiamy granice dla całego wyrażenia!! |