ZUT-notatki/uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/Drugie kolokwium.md

Szereg Maclaurina

Zadanie za 4 pkt, więc może nie jest to największy priorytet ale dla kujonów może być

Dajmy na to takie zadanie.

Obliczyć \cos \frac{1}{8} z dokładnością do 0.00000000001 posługując się rozwinięciem funkcji f(x) w szeregu Maclaurina.

Słuchaj mordo, to bardzo proste zadanie! Otóż robimy coś takiego, że:

• Bierzemy se funkcje podaną w zadaniu, tutaj \cos x
• Liczymy dla niej kilka pochodnych, tyle, aż wartości zaczną się powtarzać. Rozumisz?! Czyli w naszym przypadku bierzesz tego cosinusa jebanego i go różniczkujesz jakby jutra miało nie być. Czyli

\begin{aligned}
f(x) =& \cos(x) \\
f'(x) =& -\sin(x) \\
f''(x) =& -\cos(x) \\
f'''(x) =& \sin(x) \\
f''''(x) =& \cos(x) \\
\end{aligned}

Jak widać na załączonym wyżej obrazku 4 pochodna to ponownie cos, więc dalej nie liczysz. Czaisz to kurwa???

• Obliczamy wartości tych pochodnych w 0. Dla szerego Maclaurina zawsze w 0. Czyli tutaj:

\begin{aligned}
f(0) =& \cos(0) =& 1 \\
f'(0) =& -\sin(0) =& 0 \\
f''(0) =& -\cos(0) =& -1 \\
f'''(0) =& \sin(0) =& 0 \\
f''''(0) =& \cos(0) =& 1 \\
\end{aligned}

• Potem podstawiamy do wzoru na rozwinięcie szeregu:

f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)

Jakbyś się zastanawiał co to jest R_n(x) to sie kurwa tyle nie zastanawiaj. Jak już koniecznie musisz to wiedzieć to wiedz, że to jest jebana reszta szerego Macularina, którą tutaj jebiesz, bo nie jest nam do niczego potrzeba. Wyjebane w nią miej.

Tam pod f'(0) podstawiasz poprzednio wyliczone wartości

• Jak już to masz to zajebiście, jesteśmy niemal w domu. Teraz wystarczy jeno uprościć.
• Uprościłeś? To tera pa na to:

\cos(\frac{1}{8}) \approx 1 - \frac{(\frac{1}{8})^2}{2} + \frac{(\frac{1}{8})^4}{24} \approx 0.992197667

• Brawo, teraz skończyłeś. Jedyne co ci pozostało to zaokrąglić do podanego w polecenia miejsca po przecinku. Chyba kurwa umiesz zaokrąglać jak jesteś na studiach? Nie będę tego robił. Jak nie umiesz to spierdalaj

Obliczyć całki

Zadanie za fhuj dużo punktów, więc lepiej umieć

Tu jest kwestia zawiła, gdyż mamy różne metody, azaliż pozwolisz, mocium panie, iż wyłożę je teraz wszystkie z należytą staranności i dokładnością.

Całkowanie przez podstawienie

Prosta piłka jak chuj. Jedyny szkopuł, który tutaj może przeszkadzać to taki, że trzeba umieć liczyć pochodne i dosyć dobrze je widzieć. Generalnie metoda jest taka, że:

• Bierzemy jakąś pojebaną całkę typu

\int \frac{\sqrt[4]{3 + \operatorname{ctg}x}}{\sin ^2x}dx

Widzisz to i myślisz sobie o kurwa co ja mam zrobić??? A to nie jest wcale takie trudne, bo metoda jest prosta. Otóż:

• Bierzesz to co wygląda na pojebane i podstawiasz pod t. Potem liczysz z tego t pochodną. W tym przypadku konkretnym wygląda to tak:

\begin{aligned}
t =& 3 + \operatorname{ctg}x \\
dt =& -\frac{1}{\sin^2x}dx \\
-dt =& \frac{1}{\sin^2x}dx
\end{aligned}

No i co nam to w zasadzie kurwa dało? Żeby to wiedzieć, trzeba umieć liczyć pochodne, mieć oczy i myśleć! Jak się zastanowisz nad tym, to ta część w mianowniku dt, to to samo co mianownik naszej całki!

• Jeżeli teraz wykonamy podstawienie to:

\int \sqrt[4]{t} \times \operatorname-{dt}

Jak nie widzisz co się stało to zamieniliśmy ten mianownik na dt.

• Teraz po prostu to liczymy ze wzoru:

\int \sqrt[4]{t} \cdot -\operatorname{dt} = -\frac{4}{5}\sqrt[4]{t^5}

• Nie można zapomnieć o podstawieniu!

-\frac{4}{5}\sqrt[4]{(3 + \operatorname{ctg}x)^5} + C

I to jest nasz wynik.

Całkowanie przez części

Bardzo schematyczna metoda. Jak mamy taką całkę, że jej ni chuja nie da się policzyć to:

• bierzemy część całki i oznaczamy ją jako u. To różniczkujemy.
• bierzemy drugą część i oznaczamy ją jako v'. To całkujemy.
• u \cdot v' musi dawać nam te oryginalną całkę
• podstawiamy do wzoru, który wygląda tak:

u \cdot v - \int u' \cdot v

• Powtarzamy aż do skutku! (można by rzec, że to algorytm rekurencyjny? być może…)

Całki z pierwiastkami

Esencjonalnie trzeba zawsze sprowadzić do dwóch form:

\begin{align}
\int\sqrt{a^2 - x^2} dx \\
\int\sqrt{x^2 + a} dx\\
\end{align}

Jak już mamy takie gówno to liczymy ze wzoru.

Jak to tak przekształcić? Pewnie jakimiś wzorami skróconego mnożenia, dodaniem czegoś, odjęciem. Takie szmery bajery.

Całki wymierne

Tutaj też wchodzą wzory. (nie chce mi sie ich przepisywać xd)

Trzeba przekształcić wielomian do takiej formy. Robimy to albo licząc deltę, przekształcając w formę kanoniczną albo jakimiś innymi wymyślnymi metodami.

Jak mamy w mianowniku funkcje co się ją da rozłożyć to robimy taki myk, że rozbijamy na dwa ułamki z licznikiem A i B, a potem wyliczamy te liczniki układem równań.

np.

\begin{aligned}
% 1. Uproszczenie całki
\int \frac{5x-2}{2x^2 - 10x + 8} \,dx &= \frac{1}{2} \int \frac{5x-2}{x^2 - 5x + 4} \,dx \\[1em]

% 2. Miejsca zerowe mianownika
x^2 - 5x + 4 &= 0 \implies \Delta = 9, \quad x_1 = 1, \ x_2 = 4 \\
x^2 - 5x + 4 &= (x-1)(x-4) \\[1em]

% 3. Rozkład na ułamki proste
\frac{5x-2}{(x-1)(x-4)} &= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-4} \quad | \cdot (x-1)(x-4)\\
5x - 2 &= A(x-4) + B(x-1) \\
5x - 2 &= Ax - 4A + Bx - B \\
5x - 2 &= (A+B)x + (-4A-B) \\[1em]

% 4. Układ równań (porównanie współczynników)
&\begin{cases}
A + B = 5 \\
-4A - B = -2
\end{cases} \\
\text{Dodajemy stronami: } \quad -3A &= 3 \implies A = -1 \\
\text{Podstawiamy A: } \quad -1 + B &= 5 \implies B = 6 \\[1em]

% 5. Obliczenie całki
I &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{6}{x-4} \right) \,dx \\
&= \frac{1}{2} \left( -\ln|x-1| + 6\ln|x-4| \right) + C \\
&= -\frac{1}{2}\ln|x-1| + 3\ln|x-4| + C
\end{aligned}

Takie coś xdd

Obliczyć całki oznaczone

Całki oznaczone różnią sie od nieoznaczonych tym, że jak już się już obliczy to trzeba jeszcze podstawić górna i dolną granicę i odjąć drugie od pierwszego.

\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \,dx \\[1em]

t &= \sqrt{x} \implies dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} \,dx \\
2\,dt &= \frac{1}{\sqrt{x}} \,dx \\[1em]

x &= 0 \implies t = \sqrt{0} = 0 \\
x &= 4 \implies t = \sqrt{4} = 2 \\[1em]

I &= \int_{0}^{2} e^t \cdot 2 \,dt \\
&= 2 \int_{0}^{2} e^t \,dt \\
&= 2 \left[ e^t \right]_{0}^{2} \\
&= 2 (e^2 - e^0) \\
&= 2(e^2 - 1)
\end{aligned}

Uwaga, jeśli liczysz przez podstawienie to miej na baczności, że podstawiamy granice dla całego wyrażenia!!

Obliczyć pole ograniczone wykresem

• Przyrównać obie funkcje do siebie
• policzyć miejsca zerowe tego co wyszło – to sa granice całki
• liczymy p i q paraboli
• pod całką odejmujemy funkcje wyżej od tej niżej
• obliczamy
• wynik
• profit