mirror of
https://github.com/szymon-jozef/ZUT-notatki.git
synced 2026-10-28 11:10:38 +01:00
54 lines
3.3 KiB
Markdown
54 lines
3.3 KiB
Markdown
# Logika
|
||
- Prawo de'morgana – przy negacji alternatywy lub koniunkcji zamieniamy też ze sobą działania
|
||
- suma indeksowanej rodziny zbiorów – elementy które występują w co najmniej jednym
|
||
- iloczyn indeksowanej rodziny zbiorów – elementy które wystęupją w każdym
|
||
# Abstrakcja
|
||
- Izomorfizm – bijekcja, która zachowuje funkcje i relacje.
|
||
- Homomorfizm – odwzorowanie jednej algebry liniowej(np. pierścienia) w drugą przy zachowaniu odpowiednich działań
|
||
- Automorfizm – izomorfizm na samym sobie, czyli odwzorowanie struktury na samą siebie przy zachowaniu działań itp.
|
||
|
||
# Relacje
|
||
- piwo z kolegami
|
||
- zwrotność (każda ze sobą)
|
||
- symetryczność (działa w dwie strony)
|
||
- przechodniość (jeśli xRy i yRz to xRz)
|
||
- relacja równoważności, gdy spełnia wszystko powyżej
|
||
- antysymetryczność (xRy i yRx wtedy i tylko wtedy gdy x = y)
|
||
# Struktury
|
||
- Grupa – struktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym[1]; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. Podobne struktury).
|
||
- Iniekcja – każdy argument ma przypisaną tylko jedną wartość i żadne dwa argumenty nie dają tej samej wartości. Innymi słowy jest różnowartościowa.
|
||
- Suriekcja – zbiór wartości pokrywa się z przeciwdziedziną (każdy element przeciwdziedziny jest użyty)
|
||
- Bijekcja – iniekcja i suriekcja na raz. Liczba bijekcji to $n!$ gdzie n to ilość el. zbioru.
|
||
|
||
- działanie wewnętrzne – operacjie nie wyrzucają nas z danego zbioru
|
||
- rozdzielność $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
|
||
- półgrupa – nie potrzebuje el. neutralnego i odwrotnego
|
||
# Grafy
|
||
- Graf – podstawowy obiekt rozważań teorii grafów, struktura matematyczna służąca do przedstawiania i badania relacji między obiektami. W uproszczeniu graf to zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków.
|
||
|
||
- Graf planarny – graf który można narysować nie przecinając linii na kartce.
|
||
- Graf spójny – każda para wierzchołków jest połączona
|
||
|
||
- Twierdzenie Kuratowskiego – graf jest planarny, jeśli nie zawiera podgrafu, który jest grafem rozszerzonym grafu $K_5$ lub $K_{3,3}$. Innymi słowy: graf jest planarny jeśli nie jest stworzony z pentagramu/3 kropek na góra-dół.
|
||
- Macierz incydencji – pokazuje gdzie wierzchołki grafu mają krawędzi. Wiersz to wierzchołek, a kolumny to krawędzi. Jeśli jest $0$ to nie styka się, jeśli liczba $< 0$ to wchodzi do wierzchołka, a jeśli $> 0$ to z niego wychodzi.
|
||
|
||
# Teoria liczb
|
||
- $ax + by = c$, przy takim zapisie szukamy $NWD(a, b)$ i sprawdzamy czy dzieli liczbę c. Uzywamy rozszerzonego algorytmu Euklidesa
|
||
- Hinolskie twierdzenie o resztach służy do rozwiązywania układów równań.
|
||
Ważne wzory:
|
||
$$
|
||
\begin{align}
|
||
N &= n_i \cdot n_{i + 1} \cdot \ ...\ \cdot n_k \\
|
||
N_i &= \frac{N}{n_i} \\
|
||
N_i \cdot y_i &\equiv 1 \pmod{n_i} \\
|
||
x &= \sum_{i = 1}^{k}({a_i \cdot N_i \cdot y_i}) \pmod{N}
|
||
\end{align}
|
||
$$
|
||
|
||
# Euklides
|
||
Mamy NWD(a,b), gdzie a > b
|
||
1. Rozpisujemy a za pomocą b $a = b \cdot x + r$, gdzie x to wielokrotność a r reszta
|
||
2. rozpisujemy b za pomocą r
|
||
3. powtórz, aż dojdziesz do momentu gdy $r = 0$
|
||
|
||
Rozszerzenie polega na robieniu tego samego ale w drugą stronę |