Merge branch 'master' of github.com:czarnyspajdi/ZUT-notatki

update

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/2 wykład.md

@@ -0,0 +1,2 @@
+[[Szeregi liczbowe]]
+[[Funkcje]]

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Badanie zbieżności.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+[[Kryterium porównawcze]]
+[[Kryterium Cauche'ego (pierwiastkowe)]]
+[[Kryterium d'Alemberta (ułamkowe)]]
+
+Podsumowując:
+Wszystkie te kryteria działają podobnie. Cauche'ego i d'Alemberta mówi nam, że gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze/większego to szereg będzie zbieżny/rozbieżny. Pierwszy w przypadku pierwiastków, drugi w przypadku ułamków. Kryterium porównawcze mówi nam to samo, ale w przypadku, gdy mamy 2 różne szeregi.

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Funkcja odwrotna.md

@@ -0,0 +1 @@
+Podnosimy f^-1

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Funkcje.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+- Przesuwanie funkcji o wektor (dość proste, nie będę się opisywał)
+- [[Złożenie funkcji]]
+- [[Funkcja odwrotna]]

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Granica-Suma szeregu.md

@@ -0,0 +1,2 @@
+Granica szeregu nazywamy jego sumą.
+Czyli lim Xn = (sigma)^(nieskończoność) n=1 Xn

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Kryterium Cauche'ego (pierwiastkowe).md

@@ -0,0 +1,12 @@
+Jeżeli granica z sqrt(an, n) < 1, to szereg jest zbieżny
+Jeżeli granica z sqrt(an, n) > 1, to szereg jest rozbieżny
+Jeżeli granica z sqrt(an, n) = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności szeregu
+
+Dodatkowo, jeśli od pewnego momentu >= 1, to jest to szereg rozbieżny.
+
+Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności szeregów, we wzorach których występują potęgi n-tego stopnia.
+
+Czyli intuicyjnie:
+- Gdy granica pierwiastka stopnia n z każdego kolejnego elementu ciągu jest mniejsza niż 1, to te pierwiastki muszą sumować się do 1, bo będziemy sumować coraz to mniejsze ułamki (to tak jakbyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz mniejszy element kwadratu- gdybyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz to mniejsze części, to w końcu zamalujemy go całego)
+- Gdy ta  granica jest większa od 1, to dodajemy pierwiastki coraz to większych liczby, więc ucieka nam to w nieskończoność.
+- Gdy ta granica jest równa 1, to nic nam to nie mówi

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Kryterium d'Alemberta (ułamkowe).md

@@ -0,0 +1,13 @@
+Dla ciągu o wyrazach (an + 1) / an:
+- Jeżeli granica jest mniejsza niż 1, to szereg jest zbieżny
+- Jeżeli granica jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny
+- Jeżeli jest równa 1, to nic nam to nie mówi
+
+Dodatkowo jeśli od pewnego momentu granica jest >= 1, to szereg jest rozbieżny.
+
+Na ludzki:
+Gdy mamy taki szereg, że każdy kolejny element ciągu to element ciągu zwiększony o 1 i podzielony przez ten element, to
+- przy granicy mniejszej od 1 będziemy dodawali ułamki, więc zbiegamy do 1
+- przy granicy większej od 1 będziemy uciekali do nieskończoności
+- przy granicy równej 1 nic nam to nie mówi
+

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Kryterium porównawcze.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+Porównujemy szereg, którego zbieżność znamy z innym, który badamy.
+
+Dla dwóch dodatnich szeregów:
+A i B
+
+Jeżeli dla prawie wszystkich n zachodzi a, <= bn to:
+- ze zbieżności szeregu B wynika zbieżność szeregu A
+- z rozbnieśności szeregu A wynika rozbieżność szeregu B
+
+Czyli tłumacząc to na język bardziej ludzki. Gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze, niż elementy drugiego ciągu, to:
+- ze zbieżności większego wynika zbieżność mniejszego
+- z rozbnieżności mniejszego wynika rozbieżność większego
+
+Jeśli mniejszy ucieka w nieskończoność, to większy tym bardziej.
+Jeśli większy zbiega do konkretnej wartości, to mniejszy tym bardziej.
+
+[Zadania](https://www.matemaks.pl/kryterium-porownawcze.html)

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Szereg harmoniczny.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+Tak wygląda szereg harmoniczny (to szereg ciągu 1/n\[Czyli innymi słowy: mamy ciąg 1/n, dodajemy wszystkie jego elementy(to jest szereg), wtedy jego granica(suma szeregu) wynosi nieskończoność(bo wszystkie jego wyrazy można uprościć do 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ... + 1/2, jeśli zgrupujemy kolejne wyrazy w nawiasy, które zawierają w sobie 2^n elementów) więc nigdy nie przestaje on rosnąć.)])
+![[../../../../media/Pasted image 20251011092804.png]]
+
+
+Dowód zbieżności  (a raczej rozbieżności) szeregu harmonicznego.
+![[../../../../media/Pasted image 20251011092828.png]]

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Szeregi liczbowe.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+[Bardzo fajne źródło](https://www.matemaks.pl/szeregi-liczbowe.html)
+Dla ciągu Xn określamy ciąg Sn wzorem Sn = (sigma)^n i=1 Xi
+wtedy
+S1 = X1
+S2 = X1 + X2
+S3 = X1 + X2 + X3
+itd.
+[[Zbieżność]]
+[[Granica-Suma szeregu]]
+[[Szereg harmoniczny]]
+[[Badanie zbieżności]]

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Zbieżność.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+Szereg jest zbieżny, gdy Sn sum częściowych jest zbieżny. 
+Zbieżność oznacza dążenie do konkretnej liczby.
+Rozbieżność oznaczy dążenie nieokreślonej wartości (nieskończoność, minus nieskończoność\[to jest - szereg rośnie, rośnie i rośnie, nie wiemy kiedy przestanie rosnąść])
+
+Jeżeli szereg jest zbieżny, to granica ciągu jest równa 0.

uczelnia/1_semestr/matematyka_ze_statystyką/2_wykład/Złożenie funkcji.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+f o g(x) = f(g(x)) | Funkcja f jest złożona z funkcją g(x) tzn, że jako argumentu funkcji f możemy użyć g(x)
+
+**To nie jest przemienne**