4.1 KiB
Źródła
Wstęp
Suma szeregu
Granice szeregu nazywamy jego sumą. Czyli lim Xn = (sigma)^(nieskończoność) n=1 Xn Dla ciągu Xn określamy ciąg Sn wzorem Sn = (sigma)^n i=1 Xi wtedy S1 = X1 S2 = X1 + X2 S3 = X1 + X2 + X3 itd.
Szereg harmoniczny
Tak wygląda szereg harmoniczny (to szereg ciągu 1/n[Czyli innymi słowy: mamy ciąg 1/n, dodajemy wszystkie jego elementy(to jest szereg), wtedy jego granica(suma szeregu) wynosi nieskończoność(bo wszystkie jego wyrazy można uprościć do 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ... + 1/2, jeśli zgrupujemy kolejne wyrazy w nawiasy, które zawierają w sobie 2^n elementów) więc nigdy nie przestaje on rosnąć.)])
Dowód zbieżności (a raczej rozbieżności) szeregu harmonicznego.
Obliczanie zbieżności szeregów
Szereg jest zbieżny, gdy Sn sum częściowych jest zbieżny. Zbieżność oznacza dążenie do konkretnej liczby. Rozbieżność oznaczy dążenie nieokreślonej wartości (nieskończoność, minus nieskończoność[to jest - szereg rośnie, rośnie i rośnie, nie wiemy kiedy przestanie rosnąść])
Jeżeli szereg jest zbieżny, to granica ciągu jest równa 0.
Kryterium Cauche'ego (pierwiastkowe)
Jeżeli granica z sqrt(an, n) < 1, to szereg jest zbieżny Jeżeli granica z sqrt(an, n) > 1, to szereg jest rozbieżny Jeżeli granica z sqrt(an, n) = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności szeregu
Dodatkowo, jeśli od pewnego momentu >= 1, to jest to szereg rozbieżny.
Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności szeregów, we wzorach których występują potęgi n-tego stopnia.
Czyli intuicyjnie:
- Gdy granica pierwiastka stopnia n z każdego kolejnego elementu ciągu jest mniejsza niż 1, to te pierwiastki muszą sumować się do 1, bo będziemy sumować coraz to mniejsze ułamki (to tak jakbyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz mniejszy element kwadratu- gdybyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz to mniejsze części, to w końcu zamalujemy go całego)
- Gdy ta granica jest większa od 1, to dodajemy pierwiastki coraz to większych liczby, więc ucieka nam to w nieskończoność.
- Gdy ta granica jest równa 1, to nic nam to nie mówi
Kryterium d'Alemberta (ułamkowe)
Dla ciągu o wyrazach (an + 1) / an:
- Jeżeli granica jest mniejsza niż 1, to szereg jest zbieżny
- Jeżeli granica jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny
- Jeżeli jest równa 1, to nic nam to nie mówi
Dodatkowo jeśli od pewnego momentu granica jest >= 1, to szereg jest rozbieżny.
Na ludzki: Gdy mamy taki szereg, że każdy kolejny element ciągu to element ciągu zwiększony o 1 i podzielony przez ten element, to
- przy granicy mniejszej od 1 będziemy dodawali ułamki, więc zbiegamy do 1
- przy granicy większej od 1 będziemy uciekali do nieskończoności
- przy granicy równej 1 nic nam to nie mówi
Kryterium porównawcze
Porównujemy szereg, którego zbieżność znamy z innym, który badamy.
Dla dwóch dodatnich szeregów: A i B
Jeżeli dla prawie wszystkich n zachodzi a, <= bn to:
- ze zbieżności szeregu B wynika zbieżność szeregu A
- z rozbnieśności szeregu A wynika rozbieżność szeregu B
Czyli tłumacząc to na język bardziej ludzki. Gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze, niż elementy drugiego ciągu, to:
- ze zbieżności większego wynika zbieżność mniejszego
- z rozbnieżności mniejszego wynika rozbieżność większego
Jeśli mniejszy ucieka w nieskończoność, to większy tym bardziej. Jeśli większy zbiega do konkretnej wartości, to mniejszy tym bardziej.
To opiera się na porównywaniu do szeregu harmonicznego.
Podsumowanie
Wszystkie te kryteria działają podobnie. Cauche'ego i d'Alemberta mówi nam, że gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze/większego to szereg będzie zbieżny/rozbieżny. Pierwszy w przypadku pierwiastków, drugi w przypadku ułamków. Kryterium porównawcze mówi nam to samo, ale w przypadku, gdy mamy 2 różne szeregi.