mirror of
https://github.com/szymon-jozef/ZUT-notatki.git
synced 2026-10-27 19:20:39 +01:00
74 lines
4.1 KiB
Markdown
74 lines
4.1 KiB
Markdown
# Źródła
|
|
[Bardzo fajne źródło](/https://www.matemaks.pl/szeregi-liczbowe.html)
|
|
# Wstęp
|
|
## Suma szeregu
|
|
Granice szeregu nazywamy jego sumą.
|
|
Czyli lim Xn = (sigma)^(nieskończoność) n=1 Xn
|
|
Dla ciągu Xn określamy ciąg Sn wzorem Sn = (sigma)^n i=1 Xi
|
|
wtedy
|
|
S1 = X1
|
|
S2 = X1 + X2
|
|
S3 = X1 + X2 + X3
|
|
itd.
|
|
## Szereg harmoniczny
|
|
Tak wygląda szereg harmoniczny (to szereg ciągu 1/n\[Czyli innymi słowy: mamy ciąg 1/n, dodajemy wszystkie jego elementy(to jest szereg), wtedy jego granica(suma szeregu) wynosi nieskończoność(bo wszystkie jego wyrazy można uprościć do 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ... + 1/2, jeśli zgrupujemy kolejne wyrazy w nawiasy, które zawierają w sobie 2^n elementów) więc nigdy nie przestaje on rosnąć.)])
|
|
|
|
|
|
|
|
Dowód zbieżności (a raczej rozbieżności) szeregu harmonicznego.
|
|
|
|
|
|
# Obliczanie zbieżności szeregów
|
|
Szereg jest zbieżny, gdy Sn sum częściowych jest zbieżny.
|
|
Zbieżność oznacza dążenie do konkretnej liczby.
|
|
Rozbieżność oznaczy dążenie nieokreślonej wartości (nieskończoność, minus nieskończoność\[to jest - szereg rośnie, rośnie i rośnie, nie wiemy kiedy przestanie rosnąść])
|
|
|
|
Jeżeli szereg jest zbieżny, to granica ciągu jest równa 0.
|
|
## Kryterium Cauche'ego (pierwiastkowe)
|
|
Jeżeli granica z sqrt(an, n) < 1, to szereg jest zbieżny
|
|
Jeżeli granica z sqrt(an, n) > 1, to szereg jest rozbieżny
|
|
Jeżeli granica z sqrt(an, n) = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności szeregu
|
|
|
|
Dodatkowo, jeśli od pewnego momentu >= 1, to jest to szereg rozbieżny.
|
|
|
|
Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności szeregów, we wzorach których występują potęgi n-tego stopnia.
|
|
|
|
Czyli intuicyjnie:
|
|
- Gdy granica pierwiastka stopnia n z każdego kolejnego elementu ciągu jest mniejsza niż 1, to te pierwiastki muszą sumować się do 1, bo będziemy sumować coraz to mniejsze ułamki (to tak jakbyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz mniejszy element kwadratu- gdybyśmy w nieskończoność zamalowywali coraz to mniejsze części, to w końcu zamalujemy go całego)
|
|
- Gdy ta granica jest większa od 1, to dodajemy pierwiastki coraz to większych liczby, więc ucieka nam to w nieskończoność.
|
|
- Gdy ta granica jest równa 1, to nic nam to nie mówi
|
|
|
|
## Kryterium d'Alemberta (ułamkowe)
|
|
Dla ciągu o wyrazach (an + 1) / an:
|
|
- Jeżeli granica jest mniejsza niż 1, to szereg jest zbieżny
|
|
- Jeżeli granica jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny
|
|
- Jeżeli jest równa 1, to nic nam to nie mówi
|
|
|
|
Dodatkowo jeśli od pewnego momentu granica jest >= 1, to szereg jest rozbieżny.
|
|
|
|
Na ludzki:
|
|
Gdy mamy taki szereg, że każdy kolejny element ciągu to element ciągu zwiększony o 1 i podzielony przez ten element, to
|
|
- przy granicy mniejszej od 1 będziemy dodawali ułamki, więc zbiegamy do 1
|
|
- przy granicy większej od 1 będziemy uciekali do nieskończoności
|
|
- przy granicy równej 1 nic nam to nie mówi
|
|
|
|
## Kryterium porównawcze
|
|
Porównujemy szereg, którego zbieżność znamy z innym, który badamy.
|
|
|
|
Dla dwóch dodatnich szeregów:
|
|
A i B
|
|
|
|
Jeżeli dla prawie wszystkich n zachodzi a, <= bn to:
|
|
- ze zbieżności szeregu B wynika zbieżność szeregu A
|
|
- z rozbnieśności szeregu A wynika rozbieżność szeregu B
|
|
|
|
Czyli tłumacząc to na język bardziej ludzki. Gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze, niż elementy drugiego ciągu, to:
|
|
- ze zbieżności większego wynika zbieżność mniejszego
|
|
- z rozbnieżności mniejszego wynika rozbieżność większego
|
|
|
|
Jeśli mniejszy ucieka w nieskończoność, to większy tym bardziej.
|
|
Jeśli większy zbiega do konkretnej wartości, to mniejszy tym bardziej.
|
|
|
|
To opiera się na porównywaniu do szeregu harmonicznego.
|
|
# Podsumowanie
|
|
Wszystkie te kryteria działają podobnie. Cauche'ego i d'Alemberta mówi nam, że gdy kolejne elementy ciągu są mniejsze/większego to szereg będzie zbieżny/rozbieżny. Pierwszy w przypadku pierwiastków, drugi w przypadku ułamków. Kryterium porównawcze mówi nam to samo, ale w przypadku, gdy mamy 2 różne szeregi. |