mirror of
https://github.com/szymon-jozef/ZUT-notatki.git
synced 2026-10-27 19:20:39 +01:00
317 lines
9.6 KiB
Markdown
317 lines
9.6 KiB
Markdown
# Spis tematów
|
||
**1. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa i zdarzenia losowe**
|
||
|
||
- Przestrzeń zdarzeń elementarnych (Ω) i pojedyncze zdarzenia elementarne (ω)
|
||
|
||
- Zbiory przeliczalne
|
||
|
||
- Działania na zbiorach i zdarzeniach (dopełnienie, suma, przekrój)
|
||
|
||
- Zdarzenie niemożliwe i zdarzenia wykluczające się
|
||
|
||
- Przestrzenie mierzalne i zbiory borelowskie
|
||
|
||
|
||
**2. Definicje i miary prawdopodobieństwa**
|
||
|
||
- Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace'a) dla przestrzeni skończonych
|
||
|
||
- Miara Lebesgue'a (odnosząca się do długości, pola i objętości)
|
||
|
||
- Prawdopodobieństwo geometryczne i pojęcie miary bezatomowej
|
||
|
||
|
||
**3. Zmienna losowa i statystyka opisowa (charakterystyki zmiennej)**
|
||
|
||
- Definicja zmiennej losowej jako funkcji
|
||
|
||
- Dystrybuanta i jej własności (ciągłość, granice w nieskończoności)
|
||
|
||
- Miary rozproszenia: Wariancja, odchylenie standardowe (σ) i współczynnik zmienności
|
||
|
||
- Miary położenia: Kwantyle, mediana, kwartyle, centyle (oraz ich praktyczne zastosowanie, np. do mierzenia długości dziecka)
|
||
|
||
- Miary asymetrii rozkładu (np. wydłużony ogon, na przykładzie rozkładu płac)
|
||
|
||
- Wartości skrajne (konieczność ich odrzucania przy pomiarach)
|
||
|
||
- Dominanta (moda)
|
||
|
||
|
||
**4. Rozkłady prawdopodobieństwa**
|
||
|
||
- **Rozkłady dyskretne (skokowe):**
|
||
|
||
- Rozkład zero-jedynkowy (0-1)
|
||
|
||
- Rozkład dwumianowy (wzmianka o trójkącie Pascala)
|
||
|
||
- Rozkład geometryczny (ciąg geometryczny z parametrami _p_ i _q_)
|
||
|
||
- Rozkład Poissona
|
||
|
||
- **Zmienne i rozkłady typu ciągłego:**
|
||
|
||
- Związek dystrybuanty z całką (pole pod wykresem)
|
||
|
||
- Rozkład wykładniczy
|
||
|
||
- Rozkład normalny (funkcja Gaussa)
|
||
|
||
|
||
**5. Wektory losowe i zagadnienia zaawansowane**
|
||
|
||
- Niezależność zmiennych losowych
|
||
|
||
- Wektory losowe (w tym wektory typu skokowego) i ich dystrybuanty
|
||
|
||
- Charakterystyki wektora losowego
|
||
|
||
- Twierdzenia graniczne (jako temat zamykający)
|
||
|
||
# Zdarzenia losowe
|
||
## Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych?
|
||
zdarzenie – $\omega$
|
||
przestrzeń zdarzeń – $\Omega$
|
||
|
||
## Co to jest zbiór przeliczalny
|
||
Zbiór, który da się ponumerować
|
||
Dopełnienie zbioru jest też jego elementem.
|
||
|
||
## Co to jest zdarzenie elementarne?
|
||
Dowolne $A$ należące do $Z$ to zdarzenie losowe.
|
||
|
||
Dopełnienie i suma jest też zdarzeniem losowym.
|
||
|
||
## Zdarzenie niemożliwe
|
||
Zbiór pusty
|
||
|
||
Zdarzenia których przekrój jest pusty wykluczają się.
|
||
|
||
# Przykłady przestrzeni mierzalnych
|
||
Zbiory borelowskie to rodzina wszystkich przedziałów ograniczonych otwartych (najmniejsza klasa zdarzeń losowych zawierających rodzinę $\epsilon$)
|
||
|
||
# Definicja prawdopodobieństwa
|
||
Prawdopodobieństwo — probabilistyka
|
||
|
||
# Definicja Laplace'a
|
||
$\Omega$ — skończony, definicja Laplace'a
|
||
|
||
Jeżeli prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń elementarnych jest jednakowe to $P({\omega_n}) = \frac{1}{n}$
|
||
|
||
# Miara Lebesgue'a (lebega) m
|
||
Na prostej — długość
|
||
Na płaszczyźnie — pole
|
||
W przestrzeni — objętosć
|
||
|
||
Prawdopodobieństwo geometryczne.
|
||
|
||
Jeśli m jest miarą Lebesgue'a to można policzyć pole.
|
||
|
||
**Uwaga** miara bezatomowa, czyli dla pojedyńczych punktów = $0$
|
||
|
||
# Zmienna losowa
|
||
Funkcja, która zdarzeniom przypisuje liczbę!
|
||
Przekształca zdarzenia na zdarzenia.
|
||
(cokolwiek to znaczy)
|
||
|
||
Jeśli zbiór jest przeliczalny to każda funkcja jest zmienną losową.
|
||
|
||
## Dystrybuanta
|
||
Coś tam, funkcją jest, jestem głodny
|
||
|
||
Funkcja prawostronnie ciągła.
|
||
|
||
W -∞ jest zerem, a w +∞ jest 1.
|
||
|
||
# Wariancja
|
||
Wariancja X to liczba. (czemu te definicje są takie nieludzkie)
|
||
|
||
Odchylanie standardowe to pierwiastek z wariancji. Oznaczana małą literką sigma $\sigma$.
|
||
|
||
Współczynnik zmienności mierzy odchylenie standardowe względem morbiusa.
|
||
|
||
Kwantyl rzędu p to jakaś liczba pomiędzy granicą funkcji a jej wartością (?)
|
||
|
||
Jak podaje [wikipedia](https://pl.wikipedia.org/wiki/Kwantyl):
|
||
> Kwantyle to punkty odcięcia dzielące zakres rozkładu prawdopodobieństwa na ciągłe przedziały o równych prawdopodobieństwach lub dzielące obserwacje w próbie w ten sam sposób.
|
||
|
||
## Mediana
|
||
Wartość najbardziej po środku
|
||
|
||
## Kwartyle
|
||
To kwantyl rzędu $0.25, 0.5, 0.75$.
|
||
Kwantyl $0.5$ to mediana.
|
||
|
||
## Centyle setyle dupyle
|
||
itp można tak dzielić
|
||
|
||
### Długość dziecka
|
||
Kwantylami można zmierzyć długość dziecka, bo dzięki temu można zapobiec różnym problemom.
|
||
|
||
# Inne charakterystyki zmiennej losowej
|
||
Miary mierzące asymetrię rozkładu.
|
||
|
||
Mamy wydłużony ogon po lewej stronie.
|
||
|
||
## Rozkład płac
|
||
Większość ludzie zarabia średnią, a nieliczone jednostki zarabiają dużo.
|
||
|
||
Przy robieniu pomiaru należy odrzucić jednostki skrajne.
|
||
|
||
## Dominanta
|
||
Moda, czyli coś co ma duże prawdopodobieństwo.
|
||
|
||
# Rozkład
|
||
|
||
## 0-1
|
||
| $x_1$<br> | 0 | 1 |
|
||
| --------- | --- | --- |
|
||
| $p_1$ | q | p |
|
||
Nie wiem o co chodzi.
|
||
|
||
|
||
## Rozkład dwumianowy
|
||
Kombinacje tworzą trójkąt pascala chyba czy coś?
|
||
|
||
## Rozkład geometryczny
|
||
Mamy tylko parametr P, zmienna losowa X przyjmuje K.
|
||
Sumujemy ciąg geometryczny o ilorazie q.
|
||
|
||
## Rozkład poissona
|
||
Trujący chyba
|
||
|
||
### Zmienne typu ciągłego
|
||
Wartość dystrybuanty w punkcie x to jest całka, bo to pole pod wykresem.
|
||
|
||
## Rozkład wykladniczy
|
||
Funkcja gaussa.
|
||
|
||
# Wektory losowe i niezależność zmiennych losowych
|
||
|
||
Dystrybuanta wektora losowego
|
||
|
||
Wektor losowy typu skokowego
|
||
|
||
# Charakterystyki wektora losowego centralne, twierdzenia graniczne i elementy statystyki opisowej
|
||
Ostatni temat z prawdopodobieństwa.
|
||
|
||
Zmienne dwuwymiarowe.
|
||
|
||
Kowariancja jest symetryczna
|
||
|
||
Kowariancja to miara określające siłę oraz zależność dwóch zmiennych losowych.
|
||
|
||
Suma zmiennych to suma wariancji +- suma kowariancji
|
||
|
||
Jeżeli zmienne X i Y są niezależne to kowariancja jest 0. Tego twierdzenia nie można odwrócić.
|
||
|
||
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona.
|
||
|
||
Macierz kowariancji (momentów)
|
||
|
||
Nie rozumiem co tu się dzieje.
|
||
|
||
Centralne twierdzenie graniczne — jeśli ciąg zmiennych losowych $Y_{n\space n \in N}$ jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej Y o rozkładzie $N(0,1)$
|
||
|
||
Twierdzenie Lindberga - Levy'ego i Moivre'a - Laplace'a
|
||
|
||
Elementy statystyki opisowej
|
||
|
||
# Szereg statystyczny
|
||
- Prosty – uporządkowany niemalejąco
|
||
- Punktowy – dla cech skokowych (na wykresie kropki)
|
||
- Przedziałowy – dla cech ciągłych (na wykresie takie prostokąciki)
|
||
|
||
# Statystyka i estymacja
|
||
## Definicje
|
||
- Cecha – zmienna losowa
|
||
- Badanie próbne – wysoce wiarygodne, ale estymowane na podstawie próbki, więc nieidealne
|
||
- Estymacja – policzenie próbki i uogólnienie wyników
|
||
- Weryfikacja hipotez
|
||
|
||
- Próba losowa prosta – mamy zmienną losową X. Ciąg zmiennych $X_1$, $X_2$, ..., nazywamy n-elementową statystyczną próba losowa prosta. Jeśli zmienne są niezależnie i rozkłada $X_i$ nie jest taki sam jak rozkład X.
|
||
- Statystyka – dowolna funkcja statystyczna
|
||
|
||
## Średnia z próby
|
||
Przy zmiennych losowych o rozkładzie normalnym, średnia artymetyczna z próby ma rozkład normalny.
|
||
|
||
|
||
## Estymacja punktowa
|
||
Mamy nieznane $\theta$ rozkładu zmiennej losowej X.
|
||
Estymator $\theta$ rozkładu zmiennej X nazywamy dowolną statystyką, której wartości przyjmujemy za ocenę wielkości parametru $\theta$
|
||
|
||
Używając lepszego estymatora otrzymujemy większą dokładność.
|
||
|
||
Sprawdzenie efektywności umożliwia nierówność Rao-Cramera.
|
||
|
||
|
||
# Istotna uwaga
|
||
Przy interpretacji przedziału ufności nie należy stosować następującego sformułowania: „parametr z prawdopodobieństwem należy do przedziału w okolicach (...)”, ponieważ parametr nie zalezy od wyników próby losowej. Jest stałą. Zmienny jest natomiast przedział ufności, którego końce zależą od próby losowej.
|
||
|
||
# Parametryczne testy istotności
|
||
Weryfikacja hipotezy dotyczącej wariancji
|
||
- Obszar krytyczny K – Lewo prawo, oba
|
||
Jakieś dziwne znaczki.
|
||
---
|
||
Przykład:
|
||
$s = 1.5$
|
||
$n = 10$
|
||
$\alpha = 0.05$
|
||
Teza: odchylenie standardowe pomiarów różni się od $1.0$ na poziomie istotności $0.05$
|
||
|
||
1) Hipotezy
|
||
$$
|
||
\begin{align}
|
||
h_0 = \chi = 1 \\
|
||
h_1 = \chi ≠ 1
|
||
\end{align}
|
||
$$
|
||
|
||
2) stat testowa
|
||
$$
|
||
\chi^2 = \frac{ns^2}{\sigma^2} = \frac{10 \times 1.5^2}{1^2} = 22.5
|
||
$$
|
||
3) Kwantyle
|
||
$$
|
||
\begin{align}
|
||
\chi^2(\frac{\alpha}{2}, n - 1) = \chi&2(0.025, 9) = 2.700 \\
|
||
\chi^2(1 -\frac{\alpha}{2}, n - 1) = \chi&2(0.0975, 9) = 19.023
|
||
\end{align}
|
||
$$
|
||
4) Obszar krytyczny
|
||
$$
|
||
k = <0;2.700> u <10.023;∞>
|
||
$$
|
||
5) Wniosek
|
||
$\chi^2-2.5 e K$, więc na poziomie istotności 0.05 odrzucamy $H_0$
|
||
|
||
|
||
# Analiza wariancji
|
||
Pobieramy próbki
|
||
$x_{ij}$ j - ty wynik w i-tej próbce
|
||
Średnia
|
||
Średnia ogólna – średnia ze wszystkich wyników razem (średnia ważona w grupach)
|
||
Analiza wariancji opiera się na obserewacji Karla Pearcena – jakbyśmy policzyli sumy kwadratów i odjęli średnią ogólną to rozbijemy to ona mierzy zmienność między próbkami. Suma kwadratów odchyleń według grup (resztkowa suma kwadratów) $= q_G$
|
||
Suma odchyleń kwadratów między próbami $= q_P$
|
||
Wszystkie q traktujemy jako realizacje zmiennych losowych Q z indeksem odpowiednim do q.
|
||
Rozkład fishera snedekora.
|
||
|
||
Test Barteletta jednorodności w wariancji w k populacji.
|
||
Zał:
|
||
- Jednakowe wariancje
|
||
- Rozkład normalny
|
||
|
||
Test rangowych znaków dla jednej populacji
|
||
Rangowanie polega na nadawaniu rang wartościom. Przy identycznych wartościach nadajemy średnią artmetyczną rang, które przypadałaby na te wartości.
|
||
|
||
# Regresje I i II rodzaju
|
||
## I rodzaj
|
||
Funkcja regresji liniowej I rodzaju zmiennej Y względem zmiennej X jest zbiorem punktów $(x, g_2(x)) \in R^2$
|
||
|
||
__Zadanie 27.7 prezentacja wykład 12 na egzaminie__
|
||
|
||
## Rodzaj II
|
||
Funkcję, której przewidywaną postać wyznacza się metodą mniejszych kwadraatów minimalizując wyrażenie $E(Y - g(X))^2$, nazywamy funkcją regresji II rodzaju
|
||
|