dodano notatke na kolosa a matmy

uczelnia/1_semestr/algebra_liniowa/Algebra liniowa.md

@@ -1,2 +1,3 @@
 [Liczby zespolone](Liczby%20zespolone.md)
-[Wielomiany](Wielomiany.md)
+[Wielomiany](Wielomiany.md)
+[[Kolokwium liczby zespolone i wielomiany]]

uczelnia/1_semestr/algebra_liniowa/Kolokwium liczby zespolone i wielomiany.md

@@ -0,0 +1,132 @@
+```insta-toc
+---
+title:
+  name: Spis treści
+  level: 1
+  center: false
+exclude: ""
+style:
+  listType: dash
+omit: []
+levels:
+  min: 1
+  max: 6
+---
+
+# Spis treści
+
+- Liczby zespolone
+    - Potęgowanie
+        - Metoda
+        - Trudność
+        - Mnożenie/dzielenie potęgowanych liczb zespolonych
+    - Pierwiastkowanie
+        - Metoda
+    - Pierwiastki kwadratowe
+        - Czym się różnią od zwykłych?
+        - Jak to liczyć?
+    - Równania
+        - Metoda
+    - Równania wielomianowe
+        - Metoda
+- Wielomiany
+    - Dzielenie wielomianów
+        - Schemat Hornera
+        - Dzielenie pisemne
+    - Rozwiązywanie nierówności
+        - Rysowanie wykresów wielomianów
+```
+# Liczby zespolone
+## Potęgowanie
+### Metoda
+Potęgowanie liczb zespolonych jest dość proste. Wygląda mniej więcej tak:
+
+$(a + ib)^n = |z|^n \big(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)\big)$
+
+### Trudność
+Jedyne, co może sprawiać trudność, to przerabianie kąta \(\varphi\) na radiany oraz stosowanie wzorów redukcyjnych. Z wprawą staje się to jednak łatwiejsze.  
+
+Przykład poprawnej redukcji kąta:
+
+$cos\frac{5\pi}{6} = \cos\Big(\pi - \frac{\pi}{6}\Big) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$
+
+Najważniejsze (chyba) wzory redukcyjne przy takich przeliczeniach:
+![](../../../media/Pasted%20image%2020251116121244.png)
+
+### Mnożenie/dzielenie potęgowanych liczb zespolonych
+Wygląda strasznie, ale nie jest wiele bardziej skomplikowane. Korzystamy z właściwości funkcji trygonometrycznych:
+
+$z_1^n \cdot z_2^m = |z_1|^n \cdot |z_2|^m \Big(\cos(n\varphi_1 + m\varphi_2) + i \sin(n\varphi_1 + m\varphi_2)\Big)$
+
+
+Z dzieleniem jest tak samo, tylko zamiast dodawać kąty, odejmujemy je, a moduły dzielimy:
+
+$\frac{z_1^n}{z_2^m} = \frac{|z_1|^n}{|z_2|^m} \Big(\cos(n\varphi_1 - m\varphi_2) + i \sin(n\varphi_1 - m\varphi_2)\Big)$
+
+## Pierwiastkowanie
+### Metoda
+Tutaj stosujemy podobną metodę, ale zamiast mnożyć przez \(n\) w argumentach, dzielimy przez stopień pierwiastka i pamiętamy, że pierwiastków jest kilka (w zależności od stopnia).  
+
+$\sqrt[n]{r(\cos\varphi + i\sin\varphi)} = \sqrt[n]{r} \Big(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n} + i \sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\Big), \quad k=0,1,\dots,n-1$
+
+Tak bardziej po ludzku: 
+- Rozwiązań pierwiastka w liczbach zespolonych jest tyle jaki jest stopień pierwiastka. Dla $sqrt(z)^6$ będzie 6 rozwiązań.
+- To znaczy, że będziemy musieli policzyć 6 różnych wyników.
+- Rozwiązania "indexujemy" jak tablice w programowaniu. Od 0 do n-1.
+- Czyli liczymy sobie $k_0, k_1, k_2, ..., k_{n-1}$ i w miejsce k podstawiamy rozwiązanie które liczymy.
+Dość prosta sprawa!
+
+## Pierwiastki kwadratowe
+### Czym się różnią od zwykłych?
+Nie liczymy tego zwykłym wzorem (nie wiem czemu, nie chce mi sie sprawdzać).
+### Jak to liczyć?
+Tworzymy sobie prosty układ równań, który zawsze będzie wyglądał tak samo.
+$$ \begin{cases}
+a^2-b^2 &= \Re(z) \\
+2ab &= \Im(z) \\
+a^2 + b^2 &= |z|
+\end{cases}
+$$
+Jego budowa wynika bezpośrednio z właściwości liczb zespolonych.
+$z = a + ib \quad \implies \quad z^2 = (a+ib)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$
+
+Po prawej stronie układu podstawiamy sobie liczby.
+Odejmujemy 3 od 1, wtedy mamy b.
+a podstawiamy do drugiego równania i liczymy na jego podstawie a.
+a może być wtedy na +/-, w zależności od znaku b. Dlatego mamy zestaw 2 rozwiązań.
+W liczbach zespolonych jest tyle rozwiązań jaki jest stopień pierwiastka, więc wszystko się zgadza.
+## Równania
+### Metoda
+Równania to są tak naprawdę zwykłe funkcje kwadratowe/wielomiany, z tą różnicą, że teraz liczymy w zbiorze liczb zespolonych. Co to znaczy? To znaczy, że możemy policzyć wynik nawet, gdy $\Delta<0$ !
+Cała logika operacji na liczbach zespolonych pozostaje taka sama. 
+
+## Równania wielomianowe
+### Metoda
+Tutaj musimy przekształcić to do formy $z^n = k$ a potem przedstawić k w formie trygonometrycznej i spierwiastkować do stopnia n.
+
+Albo policzyć z funkcji kwadratowej.
+
+# Wielomiany
+## Dzielenie wielomianów
+### Schemat Hornera
+[matemaks](https://www.matemaks.pl/schemat-hornera.html)
+![](../../../media/Pasted%20image%2020251116135721.png)
+
+### Dzielenie pisemne
+[matemaks](https://www.matemaks.pl/dzielenie-wielomianow.html)
+No generalnie działa to tak samo jak dzielenie pisemne zwykłych liczb.
+
+## Rozwiązywanie nierówności
+Żeby rozwiązać nierówność trzeba narysować wykres funkcji i zobaczyć na jakich przedziałach spełniony jest warunek.
+
+#### Rysowanie wykresów wielomianów
+Żeby narysować wykres wielomianu:
+- Musi być on przedstawiony w postaci iloczynowej 
+- Muszą być wyznaczone jego miejsca zerowe. 
+- Zaczynamy od prawej strony
+- Jeżeli współczynnik kierunkowy jest ujemny to zaczynamy od dołu, jeśli dodatni do od góry
+- Rysujemy linię do najbliższego miejsca zerowego
+- Jeśli potęga przy tym miejscu zerowym jest parzysta to wykres się odbija i nie przebija osi y
+- Jeśli potęga jest nieparzysta to wykres przebija oś y
+
+Tym sposobem można narysować wykres wielomianu i rozwiązać dzięki niemu nierówność.